無窮維黎卡提微分方程

無窮維黎卡提微分方程(Riccati differential equation for infinite dimensional system)是無窮維線性系統二次最優控制問題中引出的一類運算元微分方程。

基本介紹

• 中文名：無窮維黎卡提微分方程
• 外文名：Riccati differential equation for infinite dimensional system
• 領域：數學
• 性質：運算元微分方程
• 對象：最優控制問題
• 系統：無窮維線性系統

概念

無窮維黎卡提微分方程(Riccati differential equation for infinite dimensional system)是無窮維線性系統二次最優控制問題中引出的一類運算元微分方程。由無窮維線性系統二次最優控制問題引入的運算元微分方程：

稱為無窮維黎卡提微分方程，這裡A是C₀運算元半群的母元，Q*=Q≥0，Q*₁=Q₁≥0，R*=R≥δI>0，M=BR^-1B*，B是線性有界運算元，而P*(t)=P(t)是無窮維希爾伯特空間上的對稱運算元。該黎卡提微分方程的解P(·)，可以視為下述內積黎卡提微分方程：

的解，其中x，y∈D(A)。也可以把P(·)視為黎卡提積分方程：

的解。

微分運算元

在數學中，微分運算元是定義為微分運算之函式的運算元。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函式得到另一個函式（以計算機科學中高階函式的方式）。

最常用的微分運算元是取導數自身。這個運算元的常用記號包括：d/dx,D，這裡關於哪個變數微分是清楚的，以及D_x，這裡指明了變數。一階導數如上所示，但當取更高階n-次導數時，下列替代性記號是有用的：dⁿ/dxⁿ,Dⁿ,D_xⁿ。

記號D的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽，他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分運算元

另一個最常見的微分運算元是拉普拉斯運算元，定義為

另一個微分運算元是Θ運算元，定義為

有時候這也稱為齊次運算元，因為它的本徵函式是關於z的單項式：

在n個變數中齊次運算元由

給出。與單變數一樣，Θ的本徵空間是齊次多項式空間。

最優控制問題

最優控制理論所研究的問題可以概括為：對一個受控的動力學系統或運動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優的控制方案，使系統的運動在由某個初始狀態轉移到指定的目標狀態的同時，其性能指標值為最優。這類問題廣泛存在於技術領域或社會問題中。

例如，確定一個最優控制方式使空間飛行器由一個軌道轉換到另一軌道過程中燃料消耗最少，選擇一個溫度的調節規律和相應的原料配比使化工反應過程的產量最多，制定一項最合理的人口政策使人口發展過程中老化指數、撫養指數和勞動力指數等為最優等，都是一些典型的最優控制問題。最優控制理論是50年代中期在空間技術的推動下開始形成和發展起來的。蘇聯學者Л.С.龐特里亞金1958年提出的極大值原理和美國學者R.貝爾曼1956年提出的動態規劃，對最優控制理論的形成和發展起了重要的作用。線性系統在二次型性能指標下的最優控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。

最優控制的實現離不開最最佳化技術，最最佳化技術是研究和解決最最佳化問題的一門學科，它研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優的方案。也就是說，最最佳化技術是研究和解決如何將最最佳化問題表示為數學模型以及如何根據數學模型儘快求出其最優解這兩大問題。一般而言，用最最佳化方法解決實際工程問題可分為三步進行：

①根據所提出的最最佳化問題，建立最最佳化問題的數學模型，確定變數，列出約束條件和目標函式；

②對所建立的數學模型進行具體分析和研究，選擇合適的最最佳化方法；

③根據最最佳化方法的算法列出程式框圖和編寫程式，用計算機求出最優解，並對算法的收斂性、通用性、簡便性、計算效率及誤差等作出評價。