斯蒂弗爾-惠特尼類

斯蒂弗爾-惠特尼類(Stiefel-Whitney class)是一種相應於正交群O(n)的模2係數的示性類，它有很多基本性質，如：若ξ=η，則W_i(ξ)=W_i(η)；若ε為平凡叢，則W_i(ε)=0，i＞0，這是因為存在從ε到底空間為一個點的向量叢的映射；若ε為平凡叢，則W_i(ε⊕η)=W_i(η)。

基本介紹

• 中文名：斯蒂弗爾-惠特尼類
• 外文名：Stiefel-Whitney class
• 所屬學科：向量叢
• 相關概念：正交群、示性類、線叢等

基本介紹

斯蒂弗爾-惠特尼類是一種相應於正交群O(n)的ℤ₂係數的示性類。為了定義斯蒂弗爾-惠特尼類，先敘述一個定理：設h*是一種有乘積的上同調論，使得對於每個n≥1 ，有x_n∈h(ℝP) 滿足：

1.h*(ℝP)=h*(Pt)[X_n]/x_n ；

2.若i:ℝP→ℝP為包含映射，則i*x_n+1=x_n（h*(Pt)為h*下一點構成空間的上同調環），

定義

具體定義

給定向量叢p:E→B，纖維為ℝ，結構群G為實正交群O(n)。對應的配叢為p:E_k→B，纖維F_k為斯蒂弗爾流形V_n,k。

π_i＜n-k(V_n,k)=0

π_n-k(V_n,k)=ℤ，n-k奇，或k=1

π_n-k(V_n,k)=ℤ₂，n-k偶

上同調類α_k∈H(B;π_n-k(V_n,k))模去2後，稱為向量叢E→B的第k斯蒂弗爾-惠特尼類，記為

w_q=α_n-q+1∈H(B;ℤ₂),q=1,2,...,n

w₀=1

多項式W(t)=w₀+w₁t+...+w_qt+...+w_nt

稱為向量叢的斯蒂弗爾-惠特尼多項式。

公理化定義

對於以B為底空間的每個實向量叢ξ:E→B，存在唯一的上同調類w_i(E)∈H(B;ℤ₂)(0≤i≤n)滿足：

1.w_i＞dimE(E)=0；

2.自然性：對拉回f*(E)，有w_i(f*(E))=f*(w_i(E)) ；

3.惠特尼求和公式：若E₁與E₂的底空間相同，w_k(E₁⨁E₂)=∑_i+j=kw_i(E₁)w_j(E₂)，w₀(E)=1；

4.非平凡條件：對ℝP上典範線叢γ₁，w₁(γ₁)∈H(ℝP;ℤ₂)非零。

它們稱為O(n)叢ξ的斯蒂弗爾-惠特尼類。

構造

設w_i(ξ)=ΦSqΦ(1)=ΦSqμ，其中Φ為托姆同構，Sq為斯廷羅德平方，則w_i(ξ)為第i斯蒂弗爾-惠特尼類。

歷史背景

1935年，斯蒂弗爾定義了光滑流形的切叢的示性類，同年，惠特尼定義了單純復形上球面叢的示性類。惠特尼乘積定理於1940,1941由惠特尼，於1948年由吳文俊提出。1966年，希策布魯赫給出了公理化定義。

性質

若ξ≅η ，則w_i(ξ)=w_j(η) 。

若ε為平凡叢，則w_i(ε)=0，i＞0，這是因為存在從ε到點上向量叢的叢射。

若ε為平凡叢，則w_i(ε⨁η)=w_i(η) 。

若ξ為有歐幾里得度量的ℝ向量叢，且有處處非零的截面，則w_n(ξ)=0，若ξ有k個獨立的截面，則ξ=ε⨁ε，其中ε為k維平凡叢，從而w_i(ξ)=w_j(ε)，所以w_n-k+1(ξ)=w_n-k+2(ξ)=...=w_n(ξ)=0。

對於一個O(n)向量叢ξ，w(ξ)=1+w₁(ξ)+w₂(ξ)+...+w_n(ξ)稱為ξ的全斯蒂弗爾-惠特尼類，於是由惠特尼乘積定理有惠特尼求和公式w(ξ⨁η)=w(ξ)w(η) 。

對於一個CW復形X，以X為底空間的向量叢ξ是很多的，當X=M為可微流形時，稱切叢τ(M)的斯蒂弗爾-惠特尼類為M的斯蒂弗爾-惠特尼類。對於流形M，若τ(M)為平凡叢，則稱M為可平行化的。

流形M可定向，若且唯若其W₁=0。

設為ℝP上的典範線叢，則

這由示性類的定義立即可知。設為n+1個的惠特尼和，其全空間中的每一個點可以表為

其中 是x在ℝP 中的像點，則存在一個叢映射

(ε′為一維平凡叢)，

其中 為 的內積。φ為同胚，因此 ，從而有下列性質：

。

由於這個性質6與性質4，即得下列性質(斯蒂弗爾的一個定理)：

w(ℝP)=1，若且唯若n=2-1(r≥0) 。

因此ℝP可平行化(即它的切叢為平凡叢)，僅可能是ℝP，ℝP，ℝP，ℝP，ℝP，...。事實上，已經知道ℝP，ℝP，ℝP可以平行化，而ℝP，...不能平行化。此外，ℝP(m≥1) 上沒有截面，即沒有連續處處非零的向量場。

其他示性類

龐特里亞金類可視為係數為ℤ的斯蒂弗爾-惠特尼類，即對實向量叢E→B，有H(B;ℤ)→H(B;ℤ₂)，p_i(E)↦w_2i(E)。

對n階可定向實向量叢E→X，w_n(E)=e(E)(mod 2)。

復向量叢ξ的陳多項式模2，可視為實向量叢rξ的斯蒂弗爾-惠特尼多項式，即w_2k(rξ)=c_k(ξ) mod 2。

w_n為n維流形M的歐拉示性數模2。

即斯蒂弗爾-惠特尼類與龐特里亞金類決定了非定向實向量叢的所有示性類，而對於定向實向量叢，還有歐拉類。

套用

實向量叢可定向若且唯若w₁=0。

流形可定向若且唯若其切叢可定向。

流形為自旋流形，若且唯若其切叢有自旋結構。

流形M₁與M₂的積流形M₁×M₂的斯蒂弗爾-惠特尼多項式為w(t)=w(t)w(t)，其中w(t)與w(t)分別為M₁與M₂的斯蒂弗爾-惠特尼多項式。

若為n維實射影空間ℝP上的典範線叢，則

w(t)=1+w₁(t)，w₁∈H(ℝP,ℤ₂)≅ℤ₂，w₁≠0。

斯蒂弗爾-惠特尼類不能用叢的曲率表示。

切赫上同調

斯蒂弗爾-惠特尼類w_r為於切赫上同調群H(X,ℤ₂)取值的示性類。

對正合列0→SO_n→O_n→ℤ₂→0，有第一斯蒂弗爾-惠特尼類w₁:H(X,O_n)→H(X,ℤ₂)，則w₁(P)=0若且唯若P為主SO_n叢，即P為可定向向量叢。

對正合列，有第二斯蒂弗爾-惠特尼類w₂:H(X,SO_n)→H(X,ℤ₂)，則w₂(P)=0若且唯若P為主Spin_n叢，即P為附有自旋結構的向量叢。

若P的表示為{𝓤,g_αβ}，且U_α⋂U_β為單連通，則可提升為，於U_α⋂U_β⋂U_γ定義w_αβγ=。由於ξ₀(w_αβγ)=1，故有w_αβγ:U_α⋃U_β⋃U_γ→ℤ₂，則ℤ₂上鍊表示w₂(P)。

拓撲能帶論套用

拓撲ℤ₂不變數可被視為普法夫線叢可定向性的阻礙，並以斯蒂弗爾-惠特尼類來刻畫。

若將π:Pf→𝕋視為實普法夫線叢，則其示性類為第一斯蒂弗爾-惠特尼類w∈H(𝕋,ℤ₂)≅H(𝕊,ℤ₂)≅ℤ₂。且與Kane-Mele不變數的關係為ν=(-1)。

儘管會使用高階的斯蒂弗爾-惠特尼類，但對應的阻礙只有可定向性。