切赫上同調

切赫上同調是切赫鏈復形對應的上同調。

基本介紹

• 中文名：切赫上同調
• 外文名：Cech cohomology
• 所屬學科：代數拓撲

定義

設為拓撲空間X的一個開覆蓋，為X上的阿貝爾群預層。

U上的0上鏈為，1上鏈為，以此類推可把所有維的上鏈構造出來。

由包含映射序列，可生成群同態序列

定義δ:為

則為切赫鏈復形。

的上同調為切赫上同調。

設為的開加細，由限制映射得，這與j的選取無關。由歸納極限可得M上的切赫上同調為

性質

若ω∈，則

設K為單純復形，M為其底拓撲空間。則M上常數層的切赫上同調同構於K的單純上同調，即

向量叢

構造

以連續映射族{g_α:U_α→G}為0上鏈，則H(X;G)為X到G的連續映射的集合。

以連續映射族{g_αβ:U_α∩U_β→G}關於的等價類為1上鏈，記H(X;G)為1上鏈的集合。H(X;G)為帶基點的空間，基點為平凡G模。

若有帶基點的空間的正合列，對仿緊豪斯多夫空間X，有正合列

若K為阿貝爾群，則可定義H(X;K)，並可延長上面的長正合列。

當G為阿貝爾群時，H(X;G)為第一切赫上同調群。

對X上以阿貝爾李群G為結構群的向量叢的同構類，有自然同構。

設G=，Cov₂(X)為X的二重覆疊空間的等價類的集合，則存在自然同構。

示性類

斯蒂弗爾-惠特尼類w_r為於切赫上同調群取值的示性類。

對正合列，有第一斯蒂弗爾-惠特尼類，則w₁(P)=0若且唯若P為主SO_n叢，即P為可定向向量叢。

對正合列，有第二斯蒂弗爾-惠特尼類，則w₂(P)=0若且唯若P為主Spin_n叢，即P為附有自旋結構的向量叢。

若P的表示為，且U_α∩U_β為單連通，則可提升為，於U_α∩U_β∩U_γ定義。由於ξ₀(w_αβγ)=1，故有，則上鍊表示w₂(P)。

例子

設M的切叢TM具黎曼度量，{U_i}為單開覆蓋，{e_iα}(1≤α≤m)為TM的局部正交歸一標架，則e_iα=t_ije_jα，其中t_ij:U_i∩U_j→O(m)為轉移函式。

可以定義切赫1上閉鏈f(i,j)=det(t_ij)=±1。