預層

預層(presheaf)一種與拓撲空間的開集族相聯繫的群與同態的族。

數學上，在給定拓撲空間X上的一個層（sheaf）（或譯束、捆）F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U)。這個結構F(U)和把開集限制（restricting）到更小的子集的操作相容，並且可以把小的開集粘起來得到更大的。一個預層（presheaf）和一個層相似，但它可能不可以粘起來。

基本介紹

• 中文名：預層
• 外文名：presheaf
• 所屬學科：代數幾何
• 定義：和一個層相似但可能不可以粘起來
• 相關術語：層

定義

範疇定義

設C為小範疇，預層為反變函子F:C→Set。

拓撲空間定義

給定拓撲空間X，定義開集範疇Top_X：其對象是X的開集，其態射為，其中i為包含映射，則Top_X就成了和X的開子集上的偏序⊂相關的範疇。

一個X上的C預層F就是從Top_X到C的反變函子。

相關概念

若F是一個X上的C預層，而U是一個X的開子集，則F(U)中的元稱為F在U上的瓣。F(U)也常記為Γ(U,F）。

預層間的態射被定義為函子間的自然變換，這使得C上所有預層構成了一個範疇Ĉ。到Ĉ的函子常被稱為Profunctor。

空集

不同F(∅)定義的預層F之間是同構的，故定義F只需考慮非空集U，並可將F(∅)統一定義為C中的終對象。例如，若F為集預層，則F(∅)為單元集；若F為群預層，則F(∅)為一階群；若F為R模預層，則F(∅)為零模。

具體定義

假設X為一個拓撲空間，而C是一個範疇（這經常是集範疇，阿貝爾群範疇，交換環的範疇，或是一個固定的環上的模的範疇)。

一個C中的對象在空間X上的預層（presheaf）由如下數據給出：

• 對於每個X中的開集，給定C中一個對象F(U)
• 對於每個開集之間的包含關係V⊂U，給定範疇C中的一個態射res_U,V:F(U) →F(V)。這稱為限制態射。該限制態射滿足以下兩點性質：
• 對於X中每個開集U，我們有res_U,U= id_F(U)，也即，從U到U的限制是F(U)上的單位態射。
• 給定X中任何三個開集W⊂V⊂U，我們有res_V,W∘res_U,V= res_U,W,也即從U到V再到W的限制和從U直接到W的限制相同。

性質

（1）一個局部小範疇C可以通過米田嵌入Y_c完全且忠實地嵌入Set值預層Ĉ，它將C的每個對象A送到態射函子 C(-,A)。

（2）預層Ĉ（精確到範疇等價）是C的自由歸納極限完備化。

例子

設A為仿射空間，Spec A為其素譜。假設A無零因子，K為其分式域。給定Spec A的一個開集U，𝓞(U)為K的子集，且u∈𝓞(U)滿足對U中每個x，有u=a/b，a,b∈A，且b(x)≠0，即b不是素理想x的元。𝓞為結構層。

設X為拓撲空間，M為集，令F(U)為常數映射U→M的集，res_U,V為限制映射，即對F的所有非空開集U均有F(U)=M，F(∅)為單元集，則F為集預層。