層(數學名詞)

拓撲空間X上的一個層F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U)。這個結構F(U)和把開集限制到更小的子集的操作相容，並且可以把小的開集粘起來得到更大的。事實上，層使得我們可以用一種細緻的方式討論什麼是局部性質，就像套用在函式上的層。

基本介紹

• 中文名：層
• 外文名：Sheaf
• 所屬學科：代數幾何

定義

給定預層F，若有正合列，即p₀為單態射，且為p₁與p₂的等化子，則稱F是層。

具體定義

記拓撲空間X中任意開集U的開覆蓋記為{V_i}。

層是X上的預層，且滿足以下條件：

1.若U上瓣s在開覆蓋中任意V_i上的限制均為s|_Vi=0，則s=0；

2.若開覆蓋上瓣{s_Vi}與V_i選取無關，則存在唯一U上瓣s，使得s|_Vi=s_i。

例子

設X是域k上的簇。對X的每個開集U，表示U到k的正則函式環，對每個V⊆U，ρ_UV:→是限制映射，則是X的環層，稱為X的正則函式層。用同樣的方法可以定義拓撲空間上的連續實值函式層，或者微分流形上的可微函式層，或者複流形上的全純函式層。

設X為拓撲空間，A是阿貝爾群。賦予A離散拓撲，並對於X中所有開集U，令是U到A的所有連續映射的群。用通常的限制映射，即得到層，稱為常值層。

設素譜Spec A為環A的所有素理想的集合，對Spec A中開集U，定義為s:的集合，其中對每個，滿足，且s局部地是A中元的商。確切地說，需要在U中存在的鄰域V和A的元a,f，使得對每個而。

作為一個典型的例子，考慮拓撲空間X,對於每個X中的開集U，令F(U)為所有連續函式U→R的集合。如果V是U的開子集，則U上的函式可以限制到V上，而我們得倒映射F(U) →F(V)。"粘合"描述了下列過程:假設Ui是給定的開集其並為U，對於每個i我們給定一個元素fi∈F(Ui)，一個連續函式fi:Ui→R。如果這些函式在重合的地方相等，則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來得倒一個連續函式f:U→R，它和所有給定的函式fi一致。所有集合F(U)的類和限制映射F(U) →F(V)成為一個X上的集合的層。進一步的，每個F(U)是一個交換環，而限制映射是環同態，這使F成為X上的環的層。

作為很相似的例子，考慮一個微分流形X，對於X的每個開集U，令F(U)為所有可微函式U→R的集合。這裡同樣的有粘合，並且我們得倒X上的環的層。另一個X上的層是，對於X的每個開集U給定所有定義在U上的可微向量場的向量空間。限制和粘合向量場和函式上的操作一樣，然後我們得倒流形X上的向量空間的層。

性質

層一般不是豪斯多夫空間。

拓撲空間X上的一個層(或譯束、捆)F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U)。這個結構F(U)和把開集限制到更小的子集的操作相容，並且可以把小的開集粘起來得到更大的。一個預層和一個層相似，但它可能不可以粘起來。事實上，層使得我們可以用一種細緻的方式討論什麼是局部性質，就像套用在函式上的層。

套用

層用於拓撲，代數幾何和微分幾何，只要想跟蹤給定的幾何空間的隨著每個開集變化的代數數據，就可以用層。他們是研究局部有變化(依賴於所選開集的)的對象的全局工具。這樣，它們是研究有局部本質的實體的全局行為的自然工具，例如開集，解析函式，流形，等等。