邊界層

簡介

如果粘性很小的流體(如水，空氣等)在大雷諾數時與物體接觸並有相對運動，則靠近物面的薄流體層因受粘性剪應力而使速度減小；緊貼物面的流體粘附在物面上，與物面的相對速度等於零；由物面向上，各層的違度逐漸增加，直到與自由流速相等。L-普朗特把從物面向上的這一流體減速薄層叫作邊界層。圖1是無攻角平行流沿平板的邊界層示意圖。

由物面向外，流體速度迅速增大至當地自由流速度，即對應於理想繞流的速度，一般與來流速度同量級。因而邊界層內速度的法向垂直表面的方向梯度很大，即使流體粘度不大，如空氣、水等，粘性力相對於慣性力仍然很大，起著顯著作用，因而屬粘性流動。而在邊界層外，速度梯度很小，粘性力可以忽略，流動可視為無粘或理想流動。在高雷諾數下，邊界層很薄，其厚度遠小於沿流動方向的長度，根據尺度和速度變化率的量級比較，可將納維-斯托克斯方程簡化為邊界層方程。求解高雷諾數繞流問題時，可把流動分為邊界層內的粘性流動和邊界層外的理想流動兩部分，分別疊代求解。邊界層有層流、湍流、混合流，低速（不可壓縮）、高速（可壓縮）以及二維、三維之分。由於粘性與熱傳導緊密相關，高速流動中除速度邊界層外，還有溫度邊界層。（圖片為水中邊界層與摩擦阻力關係圖）

簡史

十九世紀末葉，流體力學這門科學開始沿著兩個方向發展，而這兩個方向實際上毫無共同之處，一個方向是理論流體動力學，它是從無摩擦、無粘性流體的Euler運動方程出發發展起來的，並達到了高度完善的程度。然而，由於這種所謂經典流體動力學的結果與實驗結果有明顯的矛盾——尤其是關於管道和渠道中壓力損失這個非常重要的問題以及關於在流體中運動物體的阻力問題——這就是達朗伯佯謬。正因為這樣，注重實際的工程師為了解決在技術迅速發展中所出現的重要問題，自行發展了一門高度經驗性學科，即水力學。水力學以大量的實驗數據為基礎，而且在方法上和研究對象上都與理論流體動力學大不相同。

二十世紀初，L.Prandtl因解決了如何統一這兩個背道而馳的流體動力學分支而著稱於世。他建立了理論和實驗之間的緊密聯繫，並為流體力學的異常成功的發展鋪平了道路。就是在Prandtl之前，人們就已經認識到：在很多情形下，經典流體動力學的結果與試驗結果不符，是由於該理論忽略了流體的摩擦的緣故。而且，人們早就知道了有摩擦流動的完整的運動方程（Navier-Stokes方程）。但是，因為求解這些方程在數學上及其困難（少數特殊情況除外），所以從理論上處理粘性流體運動的道路受到了阻礙。此外，在兩種最重要的流體，即水和空氣中，由於粘性很小，一般說來，由粘性摩擦而產生的力遠小於其它的力（重力和壓力）。因為這個緣故，人們很難理解被經典理論所忽略的摩擦力怎么會在如此大的程度上影響流體的運動。

在1904年Heidelberg數學討論會上宣讀的論文“具有很小摩擦的流體運動”中，L.Prandtl指出：有可能精確地分析一些很重要的實際問題中所出現的粘性流動。藉助於理論研究和幾個簡單的實驗，他證明了繞固體的流動可以分成兩個區域：一是物體附近很薄的一層（邊界層），其中摩擦起著主要的作用；二是該層以外的其餘區域，這裡摩擦可以忽略不計。基於這個假設，Prandtl成功地對粘性流動的重要意義給出了物理上透徹的解釋，同時對相應的數學上的困難做了最大程度的簡化。甚至在當時，這些理論上的論點就得到一些簡單實驗的支持，這些實驗是在Prandtl親手建造的水洞中做的。因此他在重新統一理論和實踐方面邁出了第一步。邊界層理論在為發展流體動力學提供一個有效的工具方面證明是極其有成效的。自20世紀以來，在新近發展起來的空氣動力學這門學科的推動下，邊界層理論已經得到了迅速的發展。在一個很短的時間內，它與其他非常重要的進展（機翼理論和氣體動力學）一起，已成為現代流體力學的基石之一。