自旋結構

自旋結構是復幾何中的一個概念。

基本介紹

• 中文名：自旋結構
• 外文名：spin structure
• 所屬學科：復幾何

定義

設π:E→X為緊空間X上n維實向量叢。

E上的自旋結構為H(X;Spin(n))的元，且在H(X;Spin(n))→H(X;SO(n))→H(X;GL_n())的複合的像為叢E的同構類。

等價定義為

當n≥3時，E上的自旋結構為主Spin_n叢P_Spin(E)，附加一個二重覆疊ξ:P_Spin(E)→P_SO(E)。使得ξ(pg)=ξ(p)ξ₀(g)。

當n=2時，代替Spin_n為SO₂，且ξ₀:SO₂→SO₂為連通二重覆疊。

當n=1時，，自旋結構為X的二重覆疊。

性質

定向向量叢E→X上存在自旋結構，若且唯若其第二斯蒂弗爾-惠特尼類w₂(E)=0。

當n≥1時，E的自旋結構與在纖維上的限制為非平凡的P_SO(E)的二重覆疊一一對應。

若X為連通流形，則E上自旋結構與限制在纖維上為非平凡的有自然的一一對應。