史梯福一惠特尼類

斯蒂弗爾-惠特尼類(Stiefel-Whitney class)是一種相應於正交群O(n)的模2係數的示性類，它有很多基本性質，如：若ξ=η，則W_i(ξ)=W_i(η)；若ε為平凡叢，則W_i(ε)=0，i>0，這是因為存在從ε到底空間為一個點的向量叢的映射；若ε為平凡叢，則W_i(ε⊕η)=W_i(η)。

基本介紹

• 中文名：斯蒂弗爾-惠特尼類
• 外文名：Stiefel-Whitney class
• 所屬學科：示性類理論
• 所屬領域：代數拓撲學
• 相關概念：正交群、示性類、線叢等

基本介紹

斯蒂弗爾-惠特尼類是一種相應於正交群 的模2係數的示性類。為了定義斯蒂弗爾-惠特尼類，先敘述一個定理：設 是一種有乘積的上同調理論，使得對於每個 ，有元素 滿足：

1. ；

2.若 為包含，則 ( 為 下一點構成空間的上同調環)，

則對於以 復形 為底空間的每個 叢ξ，存在惟一的 滿足：

1. ( ξ) ，對於一切 ；

2. ；

3.若 為 上的典型線叢，則 ；

4. 。

由於 係數的奇異上同調 滿足定理中的條件1，2，因此，對於 復形X上的每個 叢ξ，存在惟一的

它們稱為 叢ξ的斯蒂弗爾-惠特尼類。

斯蒂弗爾-惠特尼類的性質

斯蒂弗爾-惠特尼類的性質(properties of Stiefel-Whitney classes)是對斯蒂弗爾-惠特尼類的刻畫，指它的一些基本性質。即：

1.若 ，則 。

2.若 為平凡叢，則 ，這是因為存在從ε到底空間為一個點的向量叢的映射。

3.若ε為平凡叢，則 。

4.若向量叢ξ有k個獨立的截面，則 ，其中ε為k維平凡叢，從而 ，所以

對於一個 向量叢ξ，

稱為ξ的全斯蒂弗爾-惠特尼類，於是由惠特尼乘積定理有 。

5.設 為 上的典型線叢，則

這由示性類的定義立即可知。對於一個 復形 ，以 為底空間的向量叢ξ是很多的，當 為可微流形時，稱切叢 的斯蒂弗爾-惠特尼類為M的斯蒂弗爾-惠特尼類。對於流形M，若 為平凡叢，則稱M為可平行化的。設 為 個 的惠特尼和，其全空間中的每一個點可以表為

其中 是x在 中的像點，則存在一個叢映射

(ε′為一維平凡叢)，

其中 為 的內積。φ為同胚，因此 ，從而由性質4即知有下列性質：

6. 。

由於這個性質6與性質4，即得下列性質(斯蒂弗爾的一個定理)：

7. ，若且唯若 。

因此 可平行化(即它的切叢為平凡叢)，僅可能是 事實上，已經知道 可以平行化，而 不能平行化。此外，由性質4與6還可知： 上沒有截面，即，沒有連續處處非零的向量場。