上同調環

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。

上同調環(cohomology ring )是H*(X；R)上的一種環結構。設X是拓撲空間，R是有單位元的交換環。H*(X；R)表示外直和⊕H(X；R)。於是，上積運算使得H(X;R)成為有單位元的環，稱為X的係數在R中的上同調環。

基本介紹

• 中文名：上同調環
• 外文名：cohomology ring
• 領域：數學
• 性質：環結構
• 空間：拓撲空間
• 環：交換環

簡介

上同調環(cohomology ring )是H*(X；R)上的一種環結構。設X是拓撲空間，R是有單位元的交換環。H*(X；R)表示外直和⊕H(X；R)。於是，上積運算使得H(X;R)成為有單位元的環，稱為X的係數在R中的上同調環。連續映射誘導出上同調環的同態；上同調環是拓撲空間的同倫型不變數；當兩個拓撲空間的各個維數的上同調群分別同構時，其上同調環未必同構。因此，利用上同調環判定兩個拓撲空間是否同胚會比上同調群更為有效。

定義

設上同調群的係數群是具有單位元的交換環R，記表示空間X的分次上鏈解。引進線性映射：

對上鏈c∈△(x)，d∈△(x)及任一奇異單形σ：△_p+q→X，定義上積c∪d為〈c∪d，σ〉=〈c，σθ_p〉 〈d，σρ_q〉，作線性擴充成上鏈，即c∪d∈△(X)，上積運算∪具有雙線性，即c∪ (d₁+d₂) =c∪d₁+c∪d₂，(c₁+c₂) ∪d=c₁∪d+c₂∪d，和結合性即(c∪d) ∪e=c∪ (d∪e)，若1是R的單位元，對X的任一零單形σ₀，〈l，σ₀〉=1，定義了上鏈l∈△(X)是上鏈的上積的單位元，這樣△(X)=△(X)成為具有單位元l的分次環，稱為X的奇異上鏈環，若δ為上邊緣運算，則δ(c∪d)=δc∪d+(-1)c∪δd，c∈△(X)，d∈△(X)，故可導出上同調群H(X)的上積，[c]∪[d]= [c∪d]，H(X)∪H(X)⊂H(X)分次環H(X)稱為X的奇異上同調環。H(X)具有斜交換性，即a∪b=(-1)b∪a，a∈H(X)，b∈H(X)。若係數環R具有特徵≠Z，即對任意非零元r∈R，2r≠0，p為奇數，a∈H(X)，則a∪a=0。

若f：X→Y是連續映射，則f*：H*(y)→H*(X)是環同態。倫型相同的空間的上積構造是同構的。

設c∈△(X)，σ是X中任一(p+q)奇異單形，定義卡積∩為c∩σ=(c，σθ_p>σθ_q，對dimc>dimσ規定c∩σ=₀作線性擴張，即得到一個雙線性運算——卡積∩：△_p(X)×△_p+q(X)→△_q(X)。上積和卡積之間有關係： 〈c，d∩z〉=〈c∪d，z〉，c∈△(X)，d∈△q(X)，z∈△p+_q(X)，此外還有：c∩ (d∩z) = (c∪d) ∩z，l∩z=z，l是單位元。卡積的邊緣公式∂(c∩z)=c∩∂z+(-1)∂c∩z，c∈△(X)，z∈△_q+q+1(X)，故卡積可導出上同調與下同調群之間的雙線性配對∩： H(X)×H_p+q(X)→H_q(X)。

若f： X→Y是連續映射，c∈△(Y)，z∈△_p+q(X)，則f_△(fc∩z)=c∩f_△z，過渡到同調，有f(fa∩b) =a∩fb，a∈H(Y)，b∈H_p+q(X)。

上積和卡積運算都可平行移到相對情形上，並且是同倫不變的。

環

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環(參見第一卷《布爾代數》)。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

拓撲空間

歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。