組合龐特里亞金類

組合龐特里亞金類(combinatorial Pontriaginclass)是龐特里亞金類的有理多項式。以前的龐特里亞金類,其定義要依賴於纖維叢的微分結構。因此組合定義是一個進步。

基本介紹

  • 中文名:組合龐特里亞金類
  • 外文名:combinatorial Pontriaginclass
  • 適用範圍:數理科學
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簡介

組合龐特里亞金類是龐特里亞金類的有理多項式。
設K是n維緊有理同調流形,∑是標準r+1維單形的邊緣。當f:K→∑是分片線性映射,且n-r=4i,對幾乎全體y∈∑,f(y)是一個4i維緊有理同調流形,給定了K的定向,則f(y)有一個誘導定向,其符號差σ(f(y))與y無關,記為σ(f)。於是對4i<(n-1)/2,存在一個且僅有上同調類li∈H(K;Q),滿足
其中f:K→∑。
當K是M的剖分時,類li(M)等於M的切叢的希策布魯赫類Li(p1,p2,...,pi)。由於在(p1,p2,...,pi)中pi的係數不為零,故由等式li=Li(p1,p2,...,pi)中遞推的解出龐特里亞金類pi為l1,l2,...,li的有理多項式。例如
等。上述的作法在組合流形上可行,因此,這樣的p類pi稱為組合龐特里亞金類。

意義

以前的龐特里亞金類,其定義要依賴於纖維叢的微分結構。因此組合定義是一個進步。已經證明,龐特里亞金類不是拓撲不變數,而有理係數則是拓撲不變數

龐特里亞金類

龐特里亞金類有一些類似於斯蒂弗爾-惠特尼類與陳類的幾何與拓撲性質。
此外,由於複數與四元數之間的密切關係,還存在一些陳類與龐類之間的關係,但是米爾諾(Milnor, J. W.)證明,龐特里亞金類不是拓撲不變數。

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