旋量叢

從幾何觀點來看，所有旋量構成旋量叢（spinor bundle）。

在數學與物理學中，旋量是與物理自旋理論以及數學中克利福德代數密切相關的某種幾何實體，在某種意義上是一種扭曲的張量。

基本介紹

• 中文名：旋量叢
• 外文名：spinor bundle
• 所屬學科：纖維叢理論

定義

設E為附有自旋結構ξ:P_Spin(E)→P_SO(E)的定向黎曼向量叢，

E的實旋量叢為

S(E)=P_Spin(E)×_μM

其中M為的左模，μ:Spin_n→SO(M)為由Spin_n的元的左乘法的表示。

E的復旋量叢為

其中為的左復模。

詳解

給定一個可微流形M，配有一個符號為 (p,q) 的度量，M上一個旋量叢是M上向量叢使其纖維是Spin(p,q)的一個旋量表示。這裡Spin(p,q) 是特殊正交群SO(p,q) 單位分支的二重覆蓋。旋量叢由向量叢V上繼承一個聯絡（參見自旋聯絡）。當p+q≤ 3時，可能有正交群的其它覆蓋群，從而有其它叢（任意子叢）。

配叢

配叢語言在表達旋量叢的意義是有用的。自旋結構（spin structure）的存在是實向量空間上額外的信息。

這裡涉及了兩個群SO與Spin（對給定的符號 ），前者有一個忠實的 維矩陣表示，但後者（一般）只忠實的作用在更高維的旋量空間。Spin是SO單位分支的二重複蓋，所以後者是前者的一個商（如果p和q都不是零，則特殊正交群有兩個分支，而自旋群Spin只有一個）。這意味著取值於Spin的轉移數據自動給出SO的轉移數據：轉到商群失去了一些信息。

從而一個Spin-叢總給出一個配以 為纖維的叢，因為Spin通過其商SO作用在 上。反過來，對SO叢有一個提升問題：要變成一個Spin叢，在轉移數據上有一個一致性問題。已經知道這個提升的阻礙是第二斯蒂弗爾-惠特尼類。