配叢

在數學中，帶有結構群 G（拓撲群）的纖維叢理論允許產生一個配叢（associated bundle）的操作，將叢的典型纖維由 F1 變成 F2，兩者都是具有群 G 作用的拓撲空間。

基本介紹

• 中文名：配叢
• 外文名：associated bundle
• 所屬學科：纖維叢理論

定義

一般配叢

設 π:E→X是拓撲空間X上一個纖維叢，帶有結構群G及典型纖維F。

由定義，有G在纖維F上一個左作用（作為變換群）。此外假設這個作用是有效的。

則存在E的一個由X的一個開覆蓋{U_i}，以及一族纖維映射{φ_i: π(U_i) →U_i×F}組成的局部平凡化，使得轉移函式由G的元素給出。

更確切地，存在連續函式g_ij: (U_i∩U_j) →G使得ψ_ij(u,f):= φ_io φ_j(u,f) = (u,g_ij(u)f) 對每個(u,f)∈(U_i∩U_j)×F。

現在設F′是一個給定的拓撲空間，配有G的一個有效左作用。則得到相配於E，且具有纖維F′的纖維叢E′，且其轉移函式為ψ′_ij(u,f′) = (u,g_ij(u)f′)，對(u,f′)∈(U_i∩U_j)×F′。這裡G值函式g_ij(u)與由原先的叢E的局部平凡化得到的相同。

這個定義顯然遵守轉移函式的上鏈條件，因為在每一種情形它們由同樣G值函式系統給出（使用另一個局部平凡化，如果有必要使用一般的加細過程，則g_ij通過相同的上邊緣變換）。從而，由纖維叢構造定理（fiber bundle construction theorem），這樣便產生了所要求的具有纖維F′的纖維叢E′。

主叢配於纖維叢

當G在F′上的作用為左平移時，F′是G在自身上左作用的一個主齊性空間，如果此外新纖維F′等同於G（從而F′不僅有左作用也繼承了G的一個右作用），則配叢E′稱為相配於纖維叢E的主G叢。G在F′上的右作用誘導了G在E′上的右作用。通過選取等同化，E′成為通常意義的主叢。

注意，儘管沒有典範的方式選取G的一個主齊性空間上的右作用，任何這樣的作用將得出相同的具有結構群G的承載纖維叢（因為這是由G的左作用得到），而且作為G空間在存在一個整體定義的G值函式聯繫兩者的意義下同構。

以這樣方式，裝備一個右作用的主G叢通常視為確定具有結構群G的纖維叢的數據之一部分，因為對纖維叢我們可以由配叢構造法來建構主叢。在下一節中，我們經相反的道路利用一個纖維積得到任何纖維叢。

纖維叢配於主叢

設π:P→X是一個主G叢，Homeo(F)為拓撲空間F的同胚群，Homeo(F)的拓撲為緊開拓撲，令ρ:G→Homeo(F) 是G在空間F上一個態射，ρ為G在F上的有效作用。

在P×F上定義G的一個自由右作用為

以這個作用作為等價關係，得到商空間(軌道空間)E=P×_ρF=(P×F)/G。

將(p,f)的等價類記為[p,f]，定義投射π_ρ:E→X為π_ρ([p,f])=π(p)。則 π_ρ:E→X是一個主叢π的配叢，具有纖維F與結構群G。

轉移函式由 ρ(t_ij) 給出，這裡t_ij是主叢P的轉移函式。

構造

一般地只需解釋由一個具有纖維F作用的叢，G作用在F上，變為相配的主叢（即以G為纖維的叢，考慮為作用在自身的平移）。然後，我們可由F1經過主叢變為F2。由一個開覆蓋數據表述的細節由下降的一種情形給出。

這一節是這樣組織的：我們首先引入從一個給定的纖維叢，產生一個具有制定的纖維的配叢的一般程式。然後是當制定的纖維是關於這個群在自身上左作用的一個主齊性空間特例，得到了配主叢。如果另外，在主叢的纖維上給出了一個右作用，我們敘述如何利用纖維積構造任何配叢。

結構群的約化

簡介

配叢的一個相伴的概念是一個G-叢B的結構群的約化。我們問是否存在一個H-叢C，使得相配的G-叢是B（在同構的意義下）。更具體地，這是問B的轉移數據能否一致的取值於H中。換句話說，我們要求確認相配叢映射的像（這其實是一個函子）。

約化的例子

向量叢的例子包括：引入一個度量導致結構群由一個一般線性群約化為正交群O(n)；一個實叢的復結構的存在性導致結構群由實一般線性群 GL(2n,R) 約化為複線性群 GL(n,C)。

另一個重要的情形實尋找一個秩n向量叢V的作為秩k與秩n-k子叢的惠特尼和，這將導致結構群由 GL(n,R) 約化為 GL(k,R) × GL(n-k,R).

我們也能將葉狀結構的條件表述為將切叢的結構群約化為分塊矩陣子群——但這裡約化只是必要條件，還有一個可積性條件使得弗羅貝尼烏斯定理可以使用。

例子

一個簡單的例子來自莫比烏斯帶，這裡G是 2 階循環群 。我們可任取F為實數線 、區間 、去掉 0 的實數線或兩個點的集合 。直覺看來G在它們上的作用（在每種情形，非單位元素作用為 ）是可比較的。可以更形式地說，把兩個矩形 與 黏合在一起：我們其實需要的是將一端的 直接與自己等同，而在另一端扭轉後等同。這個數據可用一個取值於G的補丁函式記下。配叢構造恰是觀察到這個數據對 與對 是一樣的。

對具有結構群G的纖維叢F，纖維在兩個局部坐標系U_α與U_β交集上的轉移函式（即上鏈）由一個U_α∩U_β上G-值函式g_αβ給出。我們可以構造一個纖維叢F′ 有同樣的轉移函式，但可能具有不同的纖維。