弗羅貝尼烏斯定理

弗羅貝尼烏斯定理可分為弗羅貝尼烏斯定理(第一形式)、弗羅貝尼烏斯定理(第二形式)、弗羅貝尼烏斯定理(經典形式)三種。

基本介紹

• 中文名：弗羅貝尼烏斯定理
• 外文名：Frobenius theorem
• 適用範圍：數理科學

第一形式

弗羅貝尼烏斯定理(第一形式)是積分流形存在性定理。

該定理斷言：若𝒟是微分流形M上的一個c維光滑的對合分布，p∈M，則存在通過p的𝒟的一個積分流形。

第二形式

弗羅貝尼烏斯定理(第二形式)是理想的積分流形存在性定理。

設Φ⊂Λ(M)是由n-m個獨立的局部生成的1形式微分理想，n=dim(M)(m<n)。設p∈M，則有在惟一的通過p的Φ的最大連通積分流形，且這個積分流形的維數為m。

經典形式

弗羅貝尼烏斯定理(經典形式)是弗羅貝尼烏斯定理在Rⁿ中的形式。

設U與V分別是R^m與Rⁿ中的開集，R^m中坐標用r₁,r₂,...,r_m表示，Rⁿ中坐標用s₁,s₂,...,s_n表示。令b:U×V→A(n,m)為U×V到所有n×m實矩陣的集合的一個C^∞映射。設(r₀,s₀)∈U×V，若在U×V上

則在U中存在r₀的鄰域U₀，在V中存在s₀的鄰域V₀以及惟一的映射α:U₀×V₀→V，使得如果

那么