舒爾指數

舒爾指數(Schur index)是將子域的特徵標看成擴域的特徵標時，刻畫分解程度的一類數量。若F是一個域，E是F的擴域，ρ是群G的一個不可約E表示，則存在G的一個不可約F表示ζ使ρ是ζ^E的不可約成分，其中ζ^E是將ζ看做E表示。進而，若G的兩個不可約F表示ζ₁，ζ₂使ζ^E₁與ζ^E 都有不可約成分ρ，則ζ₁與ζ₂是等價表示。下面假定χ是G的一個不可約E特徵標，對應表示ρ，F是E的一個子域，ζ是G的一個不可約F表示使得ρ為ζ^E的不可約成分，這時定義χ在F上的舒爾指數為ρ在ζ^E中的重數，記為m_F(χ)。由於前述原因，舒爾指數是一個確定的正整數。利用舒爾指數可以測度一個不可約E特徵標是否是其子域F上的特徵標。

基本介紹

• 中文名：舒爾指數
• 外文名：Schur index
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：群表示論/結合代數
• 提出者：舒爾

定義

舒爾指數(Schur index)是指與有限中心單代數相似的可除代數的次數。對域F上有限維中心單代數A，從同構意義上來說存在惟一中心可除代數D和某自然數n，使得。將相應於A的可除代數D的次數稱為A的舒爾指數，記為。舒爾指數也可對任意可分代數定義，特別地，有限維半單代數，若對每個單代數的舒爾指數定義為作為它中心上代數的舒爾指數，則就稱為A的舒爾指數。

相關定理

設為在上的舒爾指數，並記為。

定理1設的有限域，則總有，換句話說對應於指標的絕對不可約表示總可以在上實現。

定理2 設為的一個絕對不可約表示，其指標為。

a) 若可以在的某擴域上實現，並且，則舒爾指數是的因子。

b) 存在的一個擴域，使，而且可在上實現。

c) 在上可實現若且唯若是k的因子。

d) 是的因子。

定理3設為不可約-模，為的分裂域而為在上的表示的絕對不可約分量，那么，是完全可約的，它的絕對不可約分量就是全體在K與D共軛的表示，而且每一個等價類都以相同的重數s出現，若為D的指標，則s等於在上的舒爾指數，若為的指標，則

其中取遍在K上的伽羅華群的元素。

定理4設，而為在的某擴域上的絕對不可約指標。

a) 恰有一個在上的不可約指標，使，這裡，此處H為在上的伽羅華群。

b) 若為在上的指標，則總能被舒爾指數整除。

舒爾簡介

舒爾(Schur，Issai，1875.1.10-1941.1.10)是德國數學家。生於俄國莫吉廖夫，卒於巴勒斯坦特拉維夫(現屬以色列)。曾在柏林大學讀過書。1911年執教於波恩，1919年任柏林大學數學教授。1935年受納粹當局迫害離職，1939年移居巴勒斯坦。舒爾是當時德國最優秀的猶太數學家之一，他追隨其師弗羅貝尼烏斯研究群的表示理論，以發現“舒爾函式”和證明“舒爾定理”而著稱。他第一個通過線性函式變換來研究所謂“表示”，並首先在代數數域問題上使用了“舒爾指數”，還重建了群的特徵理論(1905年)。此外，他對群論、矩陣理論、代數方程論、數論、級數理論、積分方程和函式論等領域均有論述。舒爾的研究工作對現代數學的發展有很大影響。1973年，德國著名的施普林格出版社出版了他的論文集。