微分理想

環是對並與差運算封閉的集類,測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉,即對任何A,B∈F,都有A∪B∈F,A\B∈F,則稱F為Ω上的環。

微分理想(differential ideal)是平行於通常環的理想。

基本介紹

  • 中文名:微分理想
  • 外文名:differential ideal
  • 領域:數學
  • 本質:理想
  • 性質:平行於通常環
  • 對應環:微分環
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概念

微分理想(differential ideal)是平行於通常環的理想。設R是有微分系Δ的微分環,R的理想I稱為R的微分理想,或Δ理想,是指I也是有微分系Δ的微分環。R至少有兩個微分理想{0}和R,稱為R的平凡微分理想。其餘的微分理想稱為非平凡微分理想或真微分理想。有微分系Δ的環R的理想I是Δ理想的充分必要條件是:a∈I,δ∈Δ,有δa∈I或δII。當Δ={δ}時,Δ理想又記為δ理想。對於任意給定的R的一個理想J,若:
則(J∶δ)是包含在J中最大的R的δ理想。

環的介紹

環是對並與差運算封閉的集類,測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉,即對任何A,B∈F,都有A∪B∈F,A\B∈F,則稱F為Ω上的環。例如,若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集:
的全體構成的集類,則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類,並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上,就需要做一系列奠基工作,其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質.環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

環論介紹

環論是抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系.在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算,使得R中任意元a,b,c適合條件:
1.R對加法為交換群,稱為R的加法群,記為(R,+);
2.R對乘法適合結合律,即(R,·)是半群,稱為R的乘法半群;
3.乘法對加法的左、右分配律成立,即
a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律),
(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);
則稱R為結合環,簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類,以及戴德金(Dedekind,J.W.R.)、哈密頓(Hamilton,W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn,J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式,也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代,諾特(Noether,E.)建立了環的理想理論,阿廷(Artin,E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時,對非極小條件的環,馮·諾伊曼(von Nenmann,H.)建立了正則環理論,相繼蓋爾范德(Гельфанд,И.М.)創立了賦值環,克魯爾(Krull,W.)建立了局部環理論,以及哥爾迪(Goldie,A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代,根論迅速發展,尤其是雅各布森(Jacobson,N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後,建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理,完善和深化了不帶附加條件環的理論.20世紀50年代中期,阿密蘇(Amitsur,S.A.)、庫洛什(Kurosh,A.)創立了根的一般理論,環論已趨完善。
另一方面,由群表示研究的影響,產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初,諾特引入了模的概念,並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係,用模的語言去刻畫環,特別是20世紀50年代以後,同調代數的迅速發展,使環的理論進入更高層次雖然,早在1854年,凱萊(Cayley,A.)就引入了群代數,然而,它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代,受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的.20世紀70年代後,由於分次代數的推動,群代數進入新的階段——交叉積的研究.分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇,20世紀70年代以來,由於非交換代數幾何及群表示論的推動,環論已進入一個新的階段。

理想介紹

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合,若I⊆P(S)且滿足:
1.∅∈I;
2.若X,Y∈I,則X∪Y∈I;
3.若X,Y⊆S,X∈I,Y⊆X,則Y∈I;
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用,且有許多變體或引申。例如,布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數,若B的一個子集I滿足:
1.0∈I,1∉I(其中0,1分別為布爾代數B中的零元與么元);
2.對任何u∈I,v∈I,有u+v∈I;
3.對任何u,v∈B,若u∈I且v≤u,又v∈I;
則稱I為B上的理想。

微分環

微分環是帶導子集的環。若環R有一個導子集合Δ,則Δ稱為R的微分系,R稱為有微分系Δ的環,或簡稱微分環或Δ環。設S是有微分系Δ的環R的子環,若S也是有微分系Δ的環,則S稱為R的微分子環,或Δ子環,而R稱為S的微分擴環。R至少有兩個Δ子環{0}和R,稱為R的平凡微分子環。其餘的微分子環稱為非平凡微分子環,或真微分子環。有微分系Δ的環R的子環S是Δ子環的充分必要條件是:a∈S,δ∈Δ,有δa∈S.Δ={δ}時,Δ環及Δ子環分別記為δ環,δ子環。
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