微分環

微分環(differential ring)是帶導子集的環。若環R有一個導子集合Δ,則Δ稱為R的微分系,R稱為有微分系Δ的環,或簡稱微分環或Δ環。設S是有微分系Δ的環R的子環,若S也是有微分系Δ的環,則S稱為R的微分子環,或Δ子環,而R稱為S的微分擴環。

基本介紹

  • 中文名:微分環
  • 外文名:differential ring
  • 領域:數學
  • 學科:環論
  • 定義:帶導子集的環
  • 別稱:Δ環
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概念

微分環(differential ring)是帶導子集的環。若環R有一個導子集合Δ,則Δ稱為R的微分系,R稱為有微分系Δ的環,或簡稱微分環或Δ環。設S是有微分系Δ的環R的子環,若S也是有微分系Δ的環,則S稱為R的微分子環,或Δ子環,而R稱為S的微分擴環。R至少有兩個Δ子環{0}和R,稱為R的平凡微分子環。其餘的微分子環稱為非平凡微分子環,或真微分子環。有微分系Δ的環R的子環S是Δ子環的充分必要條件是:
a∈S,
δ∈Δ,有δa∈S.Δ={δ}時,Δ環及Δ子環分別記為δ環,δ子環。

導子

導子是從數學分析中移植於代數系統,用於討論一般可分擴張的一種運算。設L是K的擴域,映射D:K→L,若滿足:
微分環
則稱D是K的一個L值導子.在L=K時,或不需要特彆強調某個L時,可以徑稱導子.若K/F是域擴張,K的求導D在F上的限制D′=D|F是F的求導,則稱D是D′在K上的拓展。對特徵p≠0的域F,K/F成為可分擴張,若且唯若F的每個導子都能拓展為K的導子。

環是對並與差運算封閉的集類,測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉,即對任何A,B∈F,都有A∪B∈F,A\B∈F,則稱F為Ω上的環。例如,若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集
的全體構成的集類,則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類,並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上,就需要做一系列奠基工作,其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

微分

微分是微積分的重要概念之一。設函式y=f (x)在點x0的某個鄰域內有定義。若函式y=f(x) 在點x0的改變數Δy可以表示為:
Δy =AΔx +o(Δx), (1)
其中A與Δx無關而與x0有關,則稱函式f (x)在點x0可微,ΔAx稱為函式f (x)在點x0的微分,記作dy |x=x0= AΔx。
微分具有以下兩個特點:
① dy=AΔx是Δx的線性函式,表達式簡單。
② Δy-dy=o (Δx),即Δy與dy相差一個比Δx高階的無窮小量。換言之,用微分代替改變數,當|Δx|充分小時,不僅誤差|Δy-dy|本身很小,更重要的是,其相對誤差|(Δy-dy)/AΔx|可以任意小。所以,在式(1)右端,AΔx起主要作用。
上述的兩個特點表明,微分dy是Δy的既簡單而又具有一定精確度的近似表達式。
函式f(x)在點x0可微的充分必要條件是f(x)在點x0可導,且 (1) 中的A等於f′ (x0)。
這表明,一元函式的可導與可微是等價的。函式y=f (x)在點x0的微分可表示為dy|x=x0= f′ (x0) Δx。
若函式y=f (x)在區間I上的每一點都可微,則稱f (x)為I上的可微函式。函式y=f (x)在區間I上的微分記作dy=f′ (x)Δx。d y既依賴於x,又依賴於Δx,而x與Δx是互相獨立的兩個變數。
通常約定,自變數x的微分dy=Δx。於是,
d y =f′ (x)dx,
從而有:
記號dy/dx具有雙重意義。作為整體記號,它表示f (x)的導數f′ (x);作為運算記號,它表示函式的微分與自變數微分之比。因此,導數也稱為微商。

環論

抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算,使得R中任意元a,b,c適合條件:
1.R對加法為交換群,稱為R的加法群,記為(R,+);
2.R對乘法適合結合律,即(R,·)是半群,稱為R的乘法半群;
3.乘法對加法的左、右分配律成立,即:
a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律),
(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);
則稱R為結合環,簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類,以及戴德金(Dedekind,J.W.R.)、哈密頓(Hamilton,W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn,J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式,也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代,諾特(Noether,E.)建立了環的理想理論,阿廷(Artin,E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時,對非極小條件的環,馮·諾伊曼(von Nenmann,H.)建立了正則環理論,相繼蓋爾范德(Гельфанд,И.М.)創立了賦值環,克魯爾(Krull,W.)建立了局部環理論,以及哥爾迪(Goldie,A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代,根論迅速發展,尤其是雅各布森(Jacobson,N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後,建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理,完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期,阿密蘇(Amitsur,S.A.)、庫洛什(Kurosh,A.)創立了根的一般理論,環論已趨完善。
另一方面,由群表示研究的影響,產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初,諾特引入了模的概念,並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係,用模的語言去刻畫環,特別是20世紀50年代以後,同調代數的迅速發展,使環的理論進入更高層次雖然,早在1854年,凱萊(Cayley,A.)就引入了群代數,然而,它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代,受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後,由於分次代數的推動,群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇,20世紀70年代以來,由於非交換代數幾何及群表示論的推動,環論已進入一個新的階段。
若環R的乘法適合交換律,則稱R為交換環。乘法半群的左(右)單位元,稱為環R的左(右)單位元。乘法半群的單位元稱為環R的單位元。(R,+)的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中,零元是單位元,但兩個以上的元構成的環中,零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S,若對R的加法、乘法也構成環,則稱S是R的子環。S是R的子環若且唯若對任意a,b∈S恆有a-b∈S,ab∈S。
比結合環條件較弱的是非結合環,非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來,但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式,並早已趨完整。比結合環更弱的環類是擬環與半環,雖然早在20世紀40年代,就分別由扎森豪斯(Zassenhaus,H.)和范迪維爾(Vandiver,H.S.)提出,但它們的發展是20世紀60年代以來,受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的,現已成為環論的獨立分支。

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