弗羅貝尼烏斯自同構

對特徵為p的域F，映射π：F→F，x→x^p稱為弗羅貝尼烏斯映射(Frobenius mapping)，弗羅貝尼烏斯映射是在伽羅瓦理論中起著重要作用的映射，實際上，π是F到它的子域F^p={x^p|x∈F}的一個域同態，對於特徵p>0的域，它是一個單一同態，若這個同態又是滿同態，也就是F=F^p，則F是完備域，若π是單一同態，且是滿同態，則π是F的一個自同構，稱為弗羅貝尼烏斯自同構(Frobenius automorphism)。對於有限域F而言，F在它的素子域F_p上的擴張的自同構群Aut(F|F_p)是由弗羅貝尼烏斯自同構所生成。

基本介紹

• 中文名：弗羅貝尼烏斯自同構
• 外文名：Frobenius automorphism
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：域論與伽羅瓦理論(域的擴張)
• 相關概念：有限域，分圓域等

基本介紹

弗羅貝尼烏斯自同構是(數)域的一種特殊自同構，q元有限域 的擴域中，由 確定的自同構稱為弗羅貝尼烏斯自同構。其他的由升q次冪確定的自同構(如 上曲線)也這樣稱呼。設 為數域伽羅瓦擴張，p為k的素理想，β為其在K的素理想因子，K模β的剩餘類域 是 的 次擴張， 是 (即p的絕對範數)個元素的有限域，伽羅瓦群 是循環群，生成元 稱為 的弗羅貝尼烏斯自同構。 的保持β不變的自同構群 到 有自然同態，在此同態下的任一原像稱為β的弗羅貝尼烏斯自同構σ，由 刻畫。

相關概念

有限域

有限域又叫做伽羅瓦域，是由伽羅瓦首先提出而得名的，有限域的特徵顯然只能是素數，它是一類很重要的域，它有很好的性質而且還有很重要的套用。

設K為一個特徵p的有限域，於是K包含 作為子域，K自然地可以看成 上的有限維線性空間，設K對 的維數為n， 為它的一基，於是K的每個元素 可以唯一地表成 的線性組合

可以獨立地取 ，因而K恰由 個元素組成。因而這對K的基數作出了規定，K的基數只能是它的特徵的一個方冪，冪指數等於K對 的維數，也是K對 的次數。

其次， K的全部非零元素K*組成一個 階乘法群，根據拉格朗日定理， K*的每個元素都是方程 的根，因而K的每個元素都是 的根，但是 在K內最多有 個根，所以K的元素恰好是 的全部根，由於 可知K是 在 上的分裂域，這就證明下列定理的唯一性部分。

定理1 對每個素數p和任一正整數n，存在一個唯一的 個元素的有限域，它就是 在 上的分裂域，除此之外無其它 個元素的有限域。

個元素的有限域習慣記成 或 ， 。

最後指出有限域 有一個很重要的自同構即弗羅貝尼烏斯(Frobenius)自同構，利用特徵p>0的域的一條性質 ，作一個 到自身的映射 ， 滿足

因而 是一個自同態。其次， 是單的。這是因為 ，所以 ，即 單。由於 有限，單射必然是滿的。所以 是 的一個自同構。它叫做 的弗羅貝尼烏斯自同構。 顯然保持 的元素不動，因而 是一個 -自同構。

作為弗羅貝尼烏斯自同構的一個推論， 的每個元素 可以開p次方。因為 是滿射， 在 下有一個原象 ，即 ，所以b是 的一個p次方根。由於 的單一性， 的p次方根是唯一的。

分圓函式域

分圓函式域(cyclotomic function field)是一類重要的代數函式域，是分圓數域的某種推廣。設 為有限域 上單變元t的有理函式域，其代數閉包 按如下作用形成 上的模：對 ，定義

式中 是 的弗羅貝尼烏斯自同構， ，特別地， ，於是

是次u的可分多項式，式中d為M的次數，

次數為，若為的根集，則稱為M分圓函式域，其在k上的伽羅瓦群同構於的單位群，當為d次首一不可約多項式冪時，僅在(P)和∞分歧，類似於克羅內克-韋伯定理，k的每個在∞為順分歧的有限阿貝爾擴張均含於某個分圓函式域的常數域擴張中(順分歧是指分歧指數與q互素)。