可分多項式

定義

可分多項式在不同的作者的書下有兩個略微不同的定義。
最常見的一個定義是：當在一個給定域K上的多項式P(X)在K的代數閉包中有不同的根時，稱多項式為可分的。換言之它的互異根的數量需要等於多項式的次數。在多項式因式分解的觀點下，這樣的多項式是無平方多項式。
第二個定義，當P(X)在K[X]中的每個不可約因子在K的代數閉包中的根互不相同，此時稱P(X)是可分的。這意味著每個不可約因子是無平方項的。在這個定義中，可分性依賴於K，比如任何一個不可分的不可約多項式P在它的分裂域上都變成可分的了。並且在這個定義下，每個域上的多項式是可分的，這包含了0特徵域和所有有限域。
兩個定義對於K上不可約多項式是等價的，這個被用來定義域K的可分擴張。
在條目的餘下部分我們只用第一個定義。
一個多項式可分若且唯若它與它的形式導數P'(X)互素。

詳解

由於存在所謂的不可分不可約多項式或不可分元素——即這些元素是n次代數的，但它的共軛元素的個數小於n一伽羅瓦群的一般討論就變得複雜了．對某些特徵為p的域，這種複雜化就出現了，這可以用簡單的例子加以說明．

設K=Zp(u)表示模p整數的域Zp的單超越擴張，並設F表示由u^p=t生成的K的子域Zp(u^p)．於是，F是由Zp上的超越元素t的所有有理形式組成．原來的元素u滿足F上的一個多項式方程f(x)=x^p—t=o．這個多項式f(x)在F=Zp(t)上實際汽兆上是不可約的，這是因為如果f在Zp(t)上可約，根據高斯引理，在t的多項式整環Zp[t]上，f是可約的，但是，由愚翻榜於f(x)=x^p—t對於t來說是店匪旬鑽線性的，所以這樣的因式分解．f(x)=g(x，t)h(x，t)是不可能的．因此f(x)的根u在F上的次數是p．但是f(x)在K上有因式分解:f(x)=x^p一u^p=(x一u)^p.因此它只有一個根u，並且u(雖然它的次數p>1)除了它本身之外沒有其他共軛元素．

我們可以用下面的術語來描述上述情況．

定義域F上的一個n次多項式f(x)，如果它在某個根域N⊇F中有n個不同的根，那么稱它在域F上是可分的；否則，稱f(X)是不可分的．如果有限擴張K⊇F中每個元素在F上都滿足一個可分多項式方程，那么稱K在F上是可分的．

容易檢驗給定的多項式f(x)=a0+a1x+…+anX是否是可分的．這也就是，首先根據公式f'(x)=a1+(2×a2)x+…+(n×an)x^(n-1)來定義f(x)的形式導數f'(x)，這裡n×an表示an的n次自然倍數．如果這些係數都在實數域中，那么這種導數與微積分學中建立的普通導數是一致的．從形式導數的定義出發，不用任何極限概念，我們可以推導出很多微分法則，例如

(f+g)'=f'+g'，(fg)'=fg'+f'g，(f^m)'=mf^(m-1)f'，等等．

在任意根域N上把f(x)分解成不同線性因子的冪，

1

把兩邊形式地微分，我們看到f'(x)是

2

與k一1項每項都包含(x-u1)^e1作為因子的和．因此當e1>1時，x—u1可整除f'(x)，而當e1=1時，x一u1就不能殃犁臭整除f'(x)．對e2，…，ek重複上述推理，我們得到f(x)和f'(x)有公因子，除非e1=e2=…=ek=1，即除非f(x)是可分的；因此f(x)在N上是可分的若且唯若f(x)和它的形式導數f'(x)是互素的．

相關定理

f(x)和f'(x)的最大公因式可用F[x]中的歐幾里得算法直接計算出來；當F擴張到較大的域上時，它們的最大公因式並不改變．於是我們得到

定理設f(x)是域F上任意多項式，用歐幾里得算法計算f(x)和它的形式導數f'(x)的最大公因式d(x)(首一多項式)．如果d(x)=1，那么，f(x)是可分的；否則f(x)是不可分的．

如果f(x)是不可約的，那么除非f(x)整除g(x)，總有g．c．d．(f(x)，g(x))=1，並且f(x)不能整除任意較低次的非零多項式．因此得到

推論1 任意不可約多項式是可分的，除捆燥乃非它的形式導數是零．

推論2 特徵為∞的域上的任意不可約多項式是可分的．

這是因為，當n>0，an≠0時，

3

進一步推論是：如果F的特徵是∞，那么任意n次不可約多項式f(x)的根域恰恰包含f(x)的想灑臭n個不同的共軛根．而且，在特徵為∞的域上的任意代數數滿足一個不可約的因而也是可分的方程，所以特徵為∞的舟邀微備域的任意代數擴張，在上述意義之下是可分擴張．

推論2的結果對於素特徵的域是不成立的．例如，在不可約多項式f(x)=x^p—t有形式導數(x^p—t)'=p×x^(p-1)=0．

可分多項式

基本介紹

定義

詳解

相關定理

相關定理

相關詞條

熱門詞條