伯恩賽德問題(Burnside problem)是群論發展史上的一個著名問題。伯恩賽德(W.Burnside)於1902年提出的問題。伯恩賽德(W.Burnside)於1902年提出的問題：有限生成的具有有限方指數的群是有限群嗎?這個問題意想不到的困難，它在群論發展史以及代數發展史上都起過重要作用。後來有所謂廣義伯恩賽德問題：有限生成的撓群(即每元的階有限但方指數不必有限的群)是有限群嗎?
基本介紹
- 中文名：伯恩賽德問題
- 外文名：Burnside problem
- 領域：數學
- 學科：群論
- 提出者：伯恩賽德
- 重要人物：費特、湯普森
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簡介
伯恩賽德問題(Burnside problem)是群論發展史上的一個著名問題。伯恩賽德(W.Burnside)於1902年提出的問題。伯恩賽德(W.Burnside)於1902年提出的問題：有限生成的具有有限方指數的群是有限群嗎?這個問題意想不到的困難，它在群論發展史以及代數發展史上都起過重要作用。後來有所謂廣義伯恩賽德問題：有限生成的撓群(即每元的階有限但方指數不必有限的群)是有限群嗎?對廣義伯恩賽德問題，哥洛德(E.S.Golod)於1964年給出了否定回答。他的反例是一個有限生成的無限p群。對伯恩賽德問題，阿江(S.I.Adjan)等人於1968年給出了否定回答，當方指數是充分大的奇數和生成元多於1個時，伯恩賽德講的群不一定是有限群。後來阿江進一步做了更細緻的工作。
意義
伯恩賽德問題是涉及有限單群分類的重要課題。英國數學家伯恩賽德(W.Burnside)提出的群論問題。其中之一是：是否存在奇數階不可解有限群?換言之，是否所有非阿貝爾單群都是偶數階群?這個問題是在1897年提出的。他在《有限階群論》(1897年)中，證明了所有階數為pq的群皆為可解群，其中p，q是素數，且a，b≥0。這是有限單群分類問題早期最重要的工作，它說明非交換有限單群的階至少有3個不同的素因數。1964年，美國數學家費特(W.Feit)和湯普森(J.G.Thompson)在《太平洋數學雜誌》上發表了題為“奇數階群都是可解的”長達255頁的論文，證明了奇數階群都是可解群，因而伯恩賽德問題最終獲得解決。不僅如此，這個結論也是單群分類中最重要的一個定理，它標誌著有限單群分類的重大突破。湯普森也因此在1970年榮獲菲爾茨獎。
群論
研究具有一種結合法的特殊代數系——群的科學。代數學的分支學科。如果在元素集合G中定義了一種叫乘法的運算，並且這個運算滿足下面四個條件： (1) 對任意f，g∈G，必有 fg∈G；(2) 對任意f，g，h∈G，都有 (fg) h=f (gh)；(3) G中有唯一的e，使得對G中任意元素f 都有ef=fe=f；(4) 對G中任意元素f-1，在G中有唯一的f使得f-1f=ff-1=e。那么，稱G為群。各種群的結構、各種群運算的性質及群的套用，是群論研究的對象。
有限群
具有有限多個元素的群，是群論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源於有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。
有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單群和可解群，證明：一個素數階循環群是單群，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發現了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當還建立了在有限群中的若爾當—赫爾德合成群列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解群的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於paqb(p、q是素數)必是可解群的定理，導致了對有限單群進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。
人物簡介
伯恩賽德
英國數學家。生於倫敦，卒於西威克姆(West Wickham)。對數學物理學，復值函式論、幾何學、群論和機率論等不同分支均有貢獻，1893年成為皇家學會會員。伯恩賽德的最大成就是在群論方面。他的《有限階群論》(Theory of Groups of Fi-nite Order，1897)是英國第一部有關群論的專著，1911年再版後風行一時，成為該論題的代表作。他曾提出並解決了群論中的許多重要問題。例如，他利用群特徵標證明了每一個素數次的可遷群是可解的或二重可遷的(1901)，每一個paqb(p、q為素數)階的群是可解的。他發現奇數階的群不能有非平凡的實的不可約表示，因而對每個奇數階的群是可解的問題發生懷疑。
費特
美國數學家。1930年10月26日生於奧地利維也納。在英國長大，1946年到美國，畢業於芝加哥大學。1954年獲密執安大學博士學位；1953—1964年任教於康奈爾大學，但實際在校時間不多；1955—1957年服兵役；1958—1959年在普林斯頓高級研究所、1960—1961年在芝加哥大學、1963—1964年在哈佛大學工作。1964年起任耶魯大學數學教授。1977年被選為美國全國科學院院士。
費特的貢獻主要在代數領域，最重要的是1963年他和J·G·湯普森合作證明了著名的伯恩賽德猜想，即奇數階群是可解的。他曾系統地研究過察森豪斯(Zassenhaus)群，並取得了重要成果。60年代中期開始，他在群論的多個方面和模表示理論方面作了研究。他還給出了康韋群的一些整數表示。
1964年，費特因證明了伯恩賽德猜想與湯普森一起獲美國數學會柯爾獎。著有《有限群特徵標》(Characters ofFinite Groups， 1967)。
湯普森
美國數學家。生於奧塔瓦。1955年畢業於耶魯大學。1959年獲博士學位。1962年任芝加哥大學教授。1968年赴英國，任劍橋大學邱吉爾學院研究員，1970年以後兼任劍橋大學勞斯·鮑爾純粹數學講座教授。湯普森以對有限群論的研究而著稱。1963年，他與美國數學家菲特(W. Feit，1930—)共同肯定地證明了代數學中的伯恩塞德猜想，即“除了只含素數個元素的循環群外，一切有限單群都是含偶數個元素的”。這個定理的證明發表在1963年的《太平洋數學雜誌》上，題為《奇數階群是可解的》。1966年，湯普森又解決了弗羅貝尼烏斯猜想。1968年他到劍橋大學工作，發表了總標題為《論其局部子群皆可解的不可解有限群》的6篇論文。這些論文已成為有限單群理論的重要文獻。其中，湯普森引進了許多新的思想和技巧，開拓了一系列新的研究方向。由於他在有限群論方面的貢獻而榮獲1970年的菲爾茲獎。後來他又從希爾伯特不可約定理出發，構造數域的伽羅瓦群，得出近百年來這一領域的最大進展。1992年又獲沃爾夫獎。湯普森被選為美國國家科學院院士(1971)、倫敦皇家學會會員(1979)，還獲得過許多其他獎勵。
