圓叢

在數學中，（定向）圓叢（circle bundle）是一個纖維是圓周 的定向纖維叢，或更準確地，是一個主 U(1)-叢。它同倫等價於複線叢。在物理學中，圓叢是電磁學自然的幾何背景。

基本介紹

• 中文名：圓叢
• 外文名：circle bundle
• 定義：一個纖維是圓周的定向纖維叢
• 術語：是一個主U(1)-叢
• 套用領域：電磁學
• 套用學科：數學

定義

在數學中，（定向）圓叢（circle bundle）是一個纖維是圓周的定向纖維叢，或更準確地，是一個主U(1)-叢。它同倫等價於複線叢。在物理學中，圓叢是電磁學自然的幾何背景。圓叢是球叢的一個特例。

3流形類

表面上的圓束是三維流形的一個重要例子。

一個更一般的3-流形類是Seifert纖維空間，它可以被看作是一種“奇異”圓束，或者是一個二維orbifold上的圓束。

與電動力學

麥克斯韋方程對應於一個用2-形式F表示的電磁場，滿足上同調於零。特別地，總存在一個1-形式A使得：

給定M上一個線叢P及其投影

我們有同態

這裡是拉回。每個同態對應一個狄拉克單極（Dirac monopole）；整係數上同調群對應於電荷的量子化。

例子

霍普夫纖維化是一類非平凡圓叢。

表面的單位法線束是圓束的另一個例子。

不可定向表面的單位法線束不是主U(1)束的圓束。可定向表面具有主單位切線束。

分類

流形M上圓叢的同構類一一對應於M的第二整上同調群。這個同構由歐拉類實現。

等價地，同構類對應於從M到無窮維復射影空間映射的同倫類，這是U(1)的分類空間。

用同倫理論的話說，周圓與去掉原點的複平面是等價的。利用配叢構造，圓叢等價於光滑複線叢因為兩者的轉移函式都在C* 中。在此情形，圓叢的歐拉類或實二維平面叢與線叢的第一陳類相同。