陳類

數學上，特別是在代數拓撲和微分幾何中，陳類(,或稱陳示性類)是一類特殊的和復向量叢相關的示性類。

基本介紹

• 中文名：陳類
• 外文名：Chern class
• 又稱：陳示性類
• 類型：示性類

出現

陳類因陳省身而得名，他在1940年代第一個給出了它們的一般定義。

性質

給定一個拓撲空間X上的一個復向量叢V，V的陳類是一系列X的上同調的元素。V的第n個陳類通常記為cn(V)，是整數係數的X的上同調

H 中的一個元素。類c0(V)總是等於1。當V是復d維的叢，則類cn 在n > d時為0。

例如，若V是一個線叢，則只有在X的第二上同調群中有一個(第一)陳類。第一陳類實際上是可以從拓撲上為複線叢分類的一個完全不變數。也就是說，存在一個X上的線叢的同構等價類到H

對於1維以上的復向量叢，陳類不是一個完全不變數。

近複流形的陳類和配邊（cobordism）

陳類的理論導致了近複流形的配邊不變數的研究。

若M是一個複流形，則其切叢是一個復向量叢。M的陳類定義為其切叢的陳類。若M是緊的2d維的，則每個陳類中的2d次單項式可以和M的基本類配對，得到一個整數，稱為M的陳數。

若M′ 是另一個同維度的近複流形，則它和M配邊，若且唯若M′和M陳數相同。

定義

有很多處理這個定義的辦法：陳最初使用了微分幾何；在代數拓撲中，陳類是通過同倫理論定義的，該理論提供了把V和一個分類空間（在這個情況下是Grassmannian（格拉斯曼）空間）聯繫起來的映射；還有Alexander Grothendieck的一種辦法，表明公理上只需定義線叢的情況就夠了。陳類也自然的出現在代數幾何中。

直觀地說，陳類和向量叢的截面'所需要的0'的個數相關。

推廣

陳類理論有個一般化，其中普通的上同調由一個泛上同調群理論（generalized cohomology theory）所代替。使得這種一般化成為可能的稱為復可定向的理論。陳類的形式化屬性依然相同，但有一個關鍵的不同:計算線叢的張量積的第一陳類的規則不是各個因子的(普通)加法而是一個形式化群定律（formal group law）。