基本介紹
- 中文名：拓撲群
- 外文名：Topological group
- 又名：連續群
- 簡介：是具有拓撲空間結構的群
- 套用學科：數學
- 相關術語：群
形式定義,同態,例子,性質,其他領域,參看,
形式定義
和
是連續函式。這裡的G×G被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間。
儘管我們這裡沒有做其他要求，很多作者要求在G上的拓撲是豪斯多夫空間。下面會討論其理由和一些等價條件。最後，這不是個嚴重的限制 — 很多拓撲群都可以用規範方式變成豪斯多夫空間。
使用範疇論的語言，拓撲群可以簡明的定義為在拓撲空間範疇內的群對象，如同普通的群是集合範疇的群對象一樣。
同態
在兩個拓撲群G和H之間的同態就是連續群同態G→H。拓撲群的同構則要求同時是群同構及對應拓撲空間的同胚。這比單純要求連續群同構要更強，因其逆函式必須也是連續。有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子。實際上，任何非離散的拓撲群在用離散拓撲來考慮的時候也是（另一個）拓撲群。底層的群是一樣的（同構），但兩個拓撲群並非同構。
拓撲群和它們的同態一起形成一個範疇。
例子
每個群可以平凡地變成一個拓撲群，這是通過給它一個離散拓撲達成地；這樣的群稱為離散群。在這個意義下，拓撲群的理論包含了普通群的理論。
上面的例子都是阿貝爾群的例子。非交換群的例子有各種李群（是拓撲群也是流形）。例如，一般線性群GL(n,R)由所有可逆n×n實係數矩陣組成，可以視為拓撲群，其拓撲定義為將GL(n,R)作為歐幾里得空間R的子空間得到的子空間拓撲。所有李群是局部緊的。
不是李群的拓撲群的一個例子是有理數Q其拓撲從實數繼承。這是一個可數空間而它不是離散拓撲。對於一個非交換的例子，可以考慮R的旋轉群由繞不同軸作2π的無理數倍的兩個旋轉所生成的子群。
在每個帶乘法單位元的巴拿赫代數中，可逆元素的集合構成一個乘法下的拓撲群。
性質
拓撲群的代數和拓撲結構以非平凡的方式互相影響。例如，在任何拓撲群中單位分支（也就是包含單位的連通分支）是一個閉正規子群。
拓撲群G上的逆運算給出了一個從G到其自身的同胚。同樣，若a是G的任意元素，則a的左乘和右乘產生G→G的一個同胚。
每個拓撲群可以兩種方式視為一個一致空間；“左一致性”將所有左乘變成一個一致連續映射，而“右一致性”將所有右乘變為一致連續映射。若G非交換，則這兩個一致性並不相同。這個一致性結構使得在拓撲群上討論完備性、一致連續、和一致收斂成為可能。
作為一個一致空間，每個拓撲群是一個完全正則空間。因而，若一個拓撲群是T0（也就是柯爾莫果洛夫空間），則它也是T2(也即豪斯多夫空間)。
每個拓撲群的子群本身也是一個拓撲群，只要取子空間拓撲便可。若H是G的一個子群，所有左或右陪集G/H是一個拓撲空間，只要取商拓撲便可（G/H上使得自然投影q:G→G/H連續的最細拓撲)。可以證明商映射q:G→G/H總是開映射。
