哈爾測度(數學名詞)

哈爾測度是不恆等於零的不變測度，Rn上的勒貝格測度在拓撲群上的推廣。設G是局部緊豪斯多夫拓撲群，Ω=G，sx(或xs)是群G內的乘法。此時把G上的非零左不變(右不變)測度稱為G的左不變(右不變)哈爾測度。這種測度是由哈爾(Haar，A.)於1930年引入的。加法群Rn上哈爾測度即為勒貝格測度。在交換群的情形，左不變哈爾測度與右不變哈爾測度是相同的，在非交換群的情形，二者未必相同。哈爾測度是建立群上的調和分析理論的工具之一。

基本介紹

• 中文名：哈爾測度
• 外文名：Haar measure
• 領域：數學
• 別名：哈爾積分
• 性質：不變測度
• 意義：群上的調和分析工具

人物簡介

Alfred Haar(匈牙利語：Haar Alfred；1933年10月11日，布達佩斯——1933年3月16日，塞格德)是一位匈牙利數學家。1904年，他開始在哥廷根大學學習。他的博士學位受到大衛·希爾伯特的監督。哈爾測量，哈爾小波，和哈爾變換以他的名字命名。1912年至1919年，他在Kolozsvar的弗朗茨約瑟夫大學任教。與Frigyes Riesz一起，他使薩格德大學成為數學中心。他還和Riesz共同創立了《數學學報》。

他於1885年10月11日出生在布達佩斯，父母是IGNá和艾瑪·福斯。他於1903畢業於Fasori Evangélikus Gimnázium中學，在那裡他是rátz lászló學生。他在布達佩斯開始他的大學學習，後來又轉到G讀數學和科學。

在中學期間，他與中學學生k zépiskolai Matematikai Lapok的數學期刊合作，並贏得了國家電子電視台öánd數學競賽。他就讀於布達佩斯技術大學，作為化學工程的學生，但同年他搬到布達佩斯大學，一年後到了中的大學。他的博士研究由希爾伯特畢業於1909年6月。他的49頁論文研究了中的函式和球面函式的系統，介紹了目前廣泛使用的haar正交系統。同年，他想成為大學的一名私人教授。

1902，中的大學(克魯日)與Farkas Gyula和Riesz Frigyes一起邀請他成為教授，並成為“Quatitics”教授。後來，他的幾篇演講筆記後來成了書。在將特蘭西瓦尼亞割讓給羅馬尼亞的“中的條約”之後，大學不得不搬到新邊界內最接近的城市Szeged，在那裡，他與Riesz建立了數學中心，第一個國際公認的匈牙利數學期刊，“學報”，“Scientiarum”。

概念介紹

哈爾測度(Haar measure)亦稱哈爾積分。定義在拓撲群上的一種積分。從 到C上的正線性函式μ滿足μ(f)=μ(gf)， g∈G，f∈ ，其中 指G上的具有緊支集的正值連續函式全體。人們約定，稱復變數取正值，是指：若z∈R，則z>0。gf的定義為 。關於拓撲群的哈爾測度的基本定理是：一個局部緊、豪斯多夫拓撲群上一定存在一個非零的哈爾測度，而且除了差一個正實數因子外，該測度是惟一的，並常用積分符號表達：μ(f)=∫_Gf(x)dx。

對任一G上的函式f，若μ(f)<∞，則稱f在G上可積。

預備知識

用 表示局部緊的豪斯多夫拓撲群，G的所有開放子集生成的σ代數叫做Borel代數。Borel代數的一個元素叫做Borel集。如果g是G的一個元素，S是G的子集，那么我們定義S的左右翻譯如下：

左翻譯：

右翻譯：

Borel子集G上的測度μ叫做左翻譯不變，如果對所有Borel子集S屬於G和所有g∈G有：

Borel子集G上的測度μ叫做右翻譯不變，如果對所有Borel子集S屬於G和所有g∈G有：

哈爾定理

如果Borel子集G的不平凡測度μ滿足以下特性：

性質一：對每個g∈G和G中的所有Borel集合S，測度μ是左翻譯不變： ；

性質二：對G中所有緊集合K，測度μ是有限的：

性質三：對G中的Borel集合S，測度μ是外正則的：

性質四：對G中的開集U，測度μ是內正則的：

G中的這種測度就叫做左哈爾測度。

一些作者在Baire集上定義了Haar度量，而不是Borel集合。這就造成不必要的規律性條件，因為Baire的測度是自動的。Halmos使用了“Borel set”這一術語來解釋緊湊集生成的σ-ring，並在這些概念上定義了哈爾測度。

左哈爾測度滿足了所有σ有限波萊爾集的內部正則性條件，但對於所有的波萊爾集來說，它可能不具有內在規律。這個垂直段的緊湊型子集是有限集，點有度量，所以這個垂直段的任何緊湊型子集的度量。但是，使用外部規律性，可以顯示出該部分具有無限的度量。

一個左哈爾測量的存在和唯一性(向上縮放)首先被安德烈·韋爾(Andre Weil)充分證明。[3]Weil的證明使用了choice的公理，而Henri Cartan提供了一個避免使用的證明。Cartan的證明也同時確立了存在性和獨特性。Alfsen在1963年對Cartan的論點進行了簡化和完整的描述。在1933年由哈爾展示了對第二可數局部緊群的不變測度的特殊情況。

數理統計中的套用

在數理統計中，哈爾度量用於先驗測度，這是緊湊型轉換的先驗機率。這些先前的措施被用來構建可接受的程式，通過對被Wald的貝葉斯程式(或貝葉斯程式的限制)的可接受程式的描述進行抗訴。例如，對於一個帶有位置參數的分布族，一個正確的Haar度量結果在Pitman估計值中，這是最好的等變數。當左右的哈爾措施不同時，正確的度量通常是優先分配。對於常態分配參數空間的仿射變換，正確的哈爾度量是Jeffreys先驗度量。不幸的是，即使是正確的Haar措施有時也會導致無用的先驗，不能被推薦用於實際使用，就像其他方法來構造先前的避免主觀信息的措施

在統計學中，哈爾度量的另一種用法是條件推理，即統計數據的抽樣分布取決於數據的另一個統計數據。在不變數理論條件推理中，抽樣分布是根據一組變換的不變數來進行的(關於定義的哈爾度量)。條件作用的結果有時取決於使用不變數的順序和最大不變的選擇，因此，一個不變性的統計原則不能選擇任何唯一的最佳條件統計量(如果存在的話);至少需要另一個原則。

對於非緊湊型人群，統計學家使用amenable群組來擴展哈爾測度結果。