設σ - 有限測度空間(X,S,μ)中，μ不恆等於零，X是一個群，而且σ - 環S和測度μ對於左轉移都是不變的，由等式S(x,y)=(x,xy)確定的，X*X在它本身上的變換S是保測性變換，則(X,S,μ)是一個可測群。
基本介紹
- 中文名：可測群
- 外文名：measurable group
- 分類：測度論
定義,性質,
定義
按照定義，拓撲群就是一個群X，它具有滿足某種可分公理的拓撲結構，並且將(x,y)變為x-1y(X*X在X上)的變換是連續的。為了我們套用方便起見，我們要以另外一個定義來代替它。這個新的定義要求：由等式S(x,y)=(x,xy)確定的（X*X在它本身上的）變換S是一個同胚。兩個定義是等價的。事實上，如果X是在原來的定義下的拓撲群，則S是連續的；又因為S顯然是一個一一變換，並且S-1(x,y)=(x,x-1y)，所以S-1也是連續的，因而S是一個同胚。反之，如果已知S是一個同胚，則S-1是連續的，因而由S-1隨之以X*X在X上的射影所成的變換也是連續的（在X是數直線並以加法作為群的運算法則的場合，變換S的幾何意義很容易想像：它使平面上每一個點(x,y)沿著垂直方向移動一個線段，這個線段的量等於x）。
(a)μ不恆等於零
(b)X是一個群
(c)σ - 環S和測度μ對於左轉移都是不變的
(d)由等式S(x,y)=(x,xy)確定的，X*X在它本身上的變換S是保測性變換
則稱(X,S,μ)是一個可測群（S對於左轉移的不變性是指，對於X中每一個x以及S中每一個E，xE∈S。和通常一樣，X*X的可測子集是指σ - 環S×S中的集）。
設X是局部緊群，S是X中全體貝爾集類，μ是一個哈爾測度。因為S是一個同胚(因而保持貝爾可測性)，並且X*X中全體貝爾集類與S*S重合，所以(X,S,μ)是一個可測群。我們在下面對於可測群的討論，其目的在於說明，只從測度論的觀點來研究局部緊拓撲群，可以得到怎樣的結論。
設X是任意可測空間（特別是，若X是任意可測群），則由等式R(x,y)=(y,x)確定的，X*X在它本身上的一一變換R是保測性變換——要證明這個事實，只需注意到下述極容易驗證的事實：如果E是可測矩形，則R(E)和R-1E)(=R(E))都是可測矩形。因為保測性變換的乘積仍是保測性變換，所以上述事實給出了在一個可測群里的大量保測性變換——S和R的一切乘冪的乘積。除了變換S以外，我們還時常要用到它的“反射”T=R-1SR；我們有
T(x,y)=(yx，y)
性質
設σ - 有限測度空間(X,S,μ)具有下列性質
(a)μ不恆等於零
(b)X是一個群
(c)σ - 環S和測度μ對於左轉移都是不變的
(d)由等式S(x,y)=(x,xy)確定的，X*X在它本身上的變換S是保測性變換
