零測度

零測度就是某個集合的測度為0。數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。

基本介紹

• 中文名：零測度
• 外文名：zero measure
• 領域：數學

測度

數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。

測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函式和積分，其重要性在機率論和統計學中都有所體現。

測度的定義

正式的定義為，一個測度 （詳細的說法是可列可加的正測度）是個函式。設 的元素是的子集合，而且是一個 -代數， 在 上定義，於 中取值，並且滿足以下性質：

空集合的測度為零：

可數可加性，或稱 -可加性：若 為 中可數個兩兩不相交集合的序列，則所有 的聯集的測度，等於每個 的測度之和：

這樣的三元組 稱為一個測度空間，而 中的元素稱為這個空間中的可測集合。

性質

單調性

測度 的單調性： 若 和 為可測集，而且 ，則 。

可數個可測集的並集的測度

若 為可測集（不必是兩兩不交的），則集合 的並集是可測的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

σ-有限測度

如果 是一個有限實數（而不是 ），則測度空間 稱為有限測度空間。如果 可以表示為可數個可測集的並集，而且這些可測集的測度均有限，則該測度空間稱為 -有限測度空間。如果測度空間中的一個集合 可以表示為可數個可測集的並集，而且這些可測集的測度均有限，就稱 具有 -有限測度。

作為例子，實數集賦以標準勒貝格測度是 -有限的，但不是有限的。為說明之，只要考慮閉區間族[k, k+1]，k取遍所有的整數；這樣的區間共有可數多個，每一個的測度為1，而且並起來就是整個實數集。作為另一個例子，取實數集上的計數測度，即對實數集的每個有限子集，都把元素個數作為它的測度，至於無限子集的測度則令為。這樣的測度空間就不是-有限的，因為任何有限測度集只含有有限個點，從而，覆蓋整個實數軸需要不可數個有限測度集。-有限的測度空間有些很好的性質；從這點上說，-有限性可以類比於拓撲空間的可分性。

完備性

一個可測集稱為零測集，如果。零測集的子集稱為可去集，它未必是可測的，但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測，則稱該測度為完備測度。

一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：考慮的所有這樣的子集，它與某個可測集僅差一個可去集，也就是說與的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集生成的σ代數，並定義的值就等於。

例子

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。

計數測度定義為的“元素個數”。

一維勒貝格測度是定義在的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足的唯一測度。

Circular angle測度是旋轉不變的。

局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。

恆零測度定義為，對任意的。

每一個機率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂機率測度。見機率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。

相關條目

• 外測度（Outer measure）
  
• 幾乎處處（Almost everywhere）
  
• 勒貝格測度（Lebesgue measure）