拉東測度

拉東測度是一種正則測度。抽象測度的簡稱，即非負可列可加的集函式，測度論研究的對象。

拉東在變分法、實變函式、泛函分析、微分幾何、相對論的數學理論等方面都有所貢獻，他利用變分法研究微分幾何以及對數位勢的狄利克雷問題，發現了在數論中有重要套用的拉東曲線;還得到很有價值的拉東變換;在實變函式論中，引入了可包含勒貝格積分和斯蒂爾切斯積分的拉東積分，使積分概念得到進一步推廣。

基本介紹

• 中文名：拉東測度
• 外文名：Radon measure
• 領域：數學
• 學科：測度論
• 性質：拉東測度
• 提出者：捷克數學家拉東

概念

拉東測度是一種正則測度。設B(Ω)是豪斯多夫空間Ω上的波萊爾集類，F是Ω上的σ代數且F⊃B(Ω)，μ是F上的正則測度，C₀(Ω)是Ω上有緊支集的實值連續函式的全體。若對一切非負的f∈C₀(Ω)，都有：

則稱μ為拉東測度。若Ω是局部緊的豪斯多夫空間，則B(Ω)上的拉東測度與C₀(Ω)上的正線性泛函之間有如下一一對應關係：若μ為B(Ω)上的拉東測度，令：

則I_μ是C₀(Ω)上的正線性泛函；反之，C₀(Ω)上的正線性泛函必具有這種形式。故此時的拉東測度即丹尼爾積分。

測度

抽象測度的簡稱，即非負可列可加的集函式，測度論研究的對象。設μ是集類C上的擴充實值集函式，滿足下列條件：

1.若∅∈C，則μ(∅)=0;

2.μ為非負的，即對任意A∈C，有：

3.μ為可列可加的，即對任意一列互不相交的A_n∈C(n=1，2，…)，且：

有：

則μ稱為C上的測度。特別地，當集類C為半環(環、代數、σ代數)時，μ為半環(環、代數、σ代數)上的測度。設μ為C上的測度。若對每個A∈C，均有μ(A)<+∞，則稱μ為集類C上的有限測度。若對每個A∈C，存在A_n∈C(n=1，2，…)，使得：

且每個μ(A_n)<+∞，則稱μ為集類C上的σ有限測度。抽象測度可看做勒貝格測度的推廣，但一般不再有面積、體積等幾何意義。在不致混淆時，帶符號的測度、向量值測度等也簡稱測度。

正則測度

一種比較規則的測度。設Ω是豪斯多夫空間，B(Ω)是Ω上的波萊爾集類，F為Ω上包含B(Ω)的σ代數，μ是F上的測度。如果對每個A∈F，有：

則稱μ為外正則的；如果對每個開集G，有：

則稱μ為內正則的；既外正則又內正則的測度稱為正則測度。

豪斯多夫空間

在拓撲學和相關的數學分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T2 空間是其中的點都“由鄰域分離”的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名於拓撲學的創立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理。

假設 X 是拓撲空間。設 x 和 y 是 X 中的點。我們稱 x 和 y 可以“由鄰域分離”，如果存在x的鄰域U和y的鄰域 V使得U和V是不相交的(U ∩ V = ∅)。X是豪斯多夫空間如果任何兩個X 的獨特的點可以由鄰域分離。這時的豪斯多夫空間也叫做T2 空間和分離空間的原因。

X 是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R1 空間。

在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間，若且唯若它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是說獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間，若且唯若它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

波萊爾集類

深入討論函式的連續性、可微性、可積性時必不可少的重要集類。由R中半開區間組成的半環所生成的σ代數，稱為R上的波萊爾集類。也可定義為R中的閉集(開集)全體生成的σ代數。它是由波萊爾((F.-É.-J.-)É.Borel)於1898年引入的，故以此而命名。這種集類在測度論、機率論、遍歷理論等數學分支中均有廣泛套用。在一般拓撲空間中可類似地引入波萊爾集類。

人物簡介——拉東

捷克數學家。生於捷克的波希米亞，卒於奧地利的維也納。1905年入維也納大學學習，1910年獲得博士學位。1911—1922年，先後在哥廷根、布爾諾、維也納、漢堡等地的大學工作，1922年受聘為格賴夫斯瓦爾德大學教授。1925—1928年任埃朗根大學教授。1928—1945年任布雷斯勞大學教授。1947年受聘為維也納大學教授，並被選為奧地利科學院院士。拉東在變分法、實變函式論、泛函分析、微分幾何學、相對論的數學理論等方面都有所貢獻。他利用變分法研究微分幾何以及對數位勢的狄利克雷問題，發現了在數論中有重要套用的拉東曲線，還得到很有價值的拉東變換，現代醫學中，對人體內部器官進行X射線斷層掃描的CT機就是套用拉東變換研製成的。在實變函式論中，引入了可包含勒貝格積分和斯蒂爾傑斯積分的拉東積分，使積分概念得到進一步推廣。