作用(數學概念)

作用（action），別名左作用，是群論的一個概念，設X為集合，G為群。稱X為G集，若存在作用α:G×X →X，使得

(1)1x=x，x∈X，1為X的單位元；

(2)g(hx)=(gh)x，∀g,h∈G，∀x∈X 。

也稱G作用在X上。

基本介紹

• 中文名：作用
• 外文名：action
  left action
  operation
• 所屬學科：群論
• 別名：左作用

範疇論定義

么半群<c,μ,η>對B中對象a的左作用為B中態射ν:c◻a→a，滿足

ν∘μ◻1∘α=ν∘1◻ν，ν∘η◻1=λ。

單子與代數

設G為（小）群，則對任何（小）集X，有x∈X，g₁,g₂∈G，u為G中單位元，滿足

TX=G×X，

η_x:X→TX定義為x↦<u,x>

μ:TX→TX定義為

可定義Set的單子<T,η,μ>。

則T代數為集X與結構映射h:TX→X，滿足h(g₁g₂,x)=h(g₁,h(g₂,x))，h(u,x)=x。並可記g·x為h(g,x)。

群論定義

設X為集合，G為群。稱X為G集，若存在作用α:G×X →X，使得

(1)1x=x，x∈X，1為X的單位元；

(2)g(hx)=(gh)x，∀g,h∈G，∀x∈X 。

也稱G作用在X上。

相關概念

{gx:g∈G}記為G_x，稱為G軌道，稱為G的穩定子群。

作用稱為傳遞作用，若對∀s,s'∈S，存在g∈G滿足gs=s'，X稱為傳遞集。等價地，只有一個G軌道的G集，即存在x使得X=G_x的集，則X稱為傳遞集。

作用稱為自由作用，若gs=s推出g=1，即G_s=1，∀s∈S。

若為單射，則有作用α的G集X稱為忠實集。

性質

若H為G的子群，則商群G/H為傳遞集。

當G在X上有傳遞作用，則存在G集同構X→G/G_x，gx↦gG_x。