穩定子群

穩定子群亦稱穩定化子。一種特殊的子群。設群G作用在集合X上，x∈X，G中作用在x上使x不變的元素的全體，即{g∈G|xg=x}，它是G的一個子群，稱為x的穩定子群，記為SG(x)，或StG(x)。

穩定子群的概念還可以推廣。設Δ是Ω的一個子集合，可自然地得到兩個子群。第一個子群由G中那些把Δ中每個元素都不變的元素組成，這個子群稱為子集Δ的點不變穩定子群。第二個子群由G中那些把Δ作為整體還變成Δ的元素組成，這個子群稱為Δ的集不變穩定子群，分別記為GΔ和G{Δ}。

基本介紹

• 中文名：穩定子群
• 外文名：stable subgroup
  isotropy group
  stabilizer
• 所屬學科：群論
• 性質：一種特殊的子群
• 記號：SG(x)，或StG(x)

定義

設X為G空間，x∈X。則G_x:={g∈G|gx=x}，稱G_x為點x的穩定子群。

性質

G_x為G的閉子群。

群

若集合，在上的二元運算（該運算稱為群的乘法，其結果稱為積）構成的代數結構，，滿足：

1. 封閉性：即G的任意兩個元素在下的運算結果都是該集合的一個元素。（，）。

2.結合律：，；

3.單位元：中存在元素，使G中任一元素與之相乘（包括左乘和右乘）的結果都等於本身。（，使，有）；

4. 逆元：，，使得，稱為的逆元，記為。（逆元具有唯一性，即：由可以推出）

則稱為一個群，或乘法群。

有時由於上下文的原因，群上的二元運算亦可稱為加法，此時該運算通常記為，群元素的運算也被記為如同的形式，而群也可被稱為加法群。此種情況下，往往加法還有可交換的性質。

置換群

定義為集合上所有雙射的集合，並定義合成映射，這裡是的任意元素。構成一個群，這個群被稱為置換群，記為或。

例集合的三個元素置換群組成.

一般線性群

定義為所有n階實可逆方陣的集合，乘法為矩陣乘法，則構成一個群。

這個群稱為一般線性群，記為。

簡單例子

例1在普通乘法下是群。

證：1)封閉性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1

2)結合律：成立

3)單位元：1

4)逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2在mod n的加法下是群.

證：1)封閉性：除以n的餘數只能是，故封閉性成立

2)結合律：成立

3)單位元：0

4)逆元素：對任意元素a有，a的逆元

子群

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子群。

穩定子群的概念

穩定子群置換群內的一種特殊子群。置換群G中把某點α保持不動的全體元素組成的子群。它記為G_α，稱為α在G內的穩定子群。若β是G中另外一個點，而G中有元素g使α=β，則。所以同一軌道內的各點有相互共軛的穩定子群。若Δ={α₁，α₂，…，α_r}為G的軌道，取x_i∈G (i=1，2，…，r)，使α₁=α_i，則陪集G_α1x_i就是G中把α₁變成α_i的全部元素所成的子集。於是，Δ中的元素和G_α1在G內的各陪集之間可以建立一一對應。因此Δ的長度r就是G_α1在G內的指數。

穩定子群的概念還可以推廣。設Δ是Ω的一個子集合，可自然地得到兩個子群。第一個子群由G中那些把Δ中每個元素都不變的元素組成，這個子群稱為子集Δ的點不變穩定子群。第二個子群由G中那些把Δ作為整體還變成Δ的元素組成，這個子群稱為Δ的集不變穩定子群，分別記為G_Δ和G_{Δ}。還有其他形式的穩定子群，給定一個置換群後，就可以自然地得到一系列子群。通過這些子群的研究常常使人們可以了解所給置換群的構造，這是研究置換群的一個方便之處。