穩定群

設G為集合 S 的變換群. S的一個子集T的穩定群Stab(T)定義為

Stab(T) = {g: g(T) = T}.

基本介紹

• 中文名：穩定群
• 外文名：stability group
• 學科：群論
• 領域：代數

定義

設G為集合S 的變換群. T⊆S,令Stab(T) = {g: g(T) = T},即G中所有在子集T里有封閉性的元素所組成的子集(群),則Stab(T)為 G 的一個子群,叫做T的穩定群.

事實上,由 g(T) =T, 得

( *g)(T) = ( T ) , e(T) =( T ) , T =( T ) ,

即 g∈Stab(T)⇒ ∈Stab(T ) .

又顯然可見,對於 g , h∈Stah( T ) ,有

(g*h)(T) = g(h(T)) = g(T) = T,

故 g * h∈Stab(T).由此及子集的定義得知 Stab(T)為G的一個子群.

性質

實際上,群G 的任意子群皆可表示成一個穩定群．令群 G 如通常那樣作用在集合G 上,即令

g() =g*

則 Stab(H)= H.

套用

我們可以將子群H視為集合G上的變換群(H在G上的作用如前所示).則有

Orb(e)={h*e :h∈H}=H.

此時的各條軌道Orb(g) = {h*g:h∈H} 又稱為右陪集.類似地,也有左陪集,共構造法如下:令子群H在集合G上的作用為

h(g) = g*, h∈H , g∈G.

則產生的軌道{9 * : h∈H} = {g*h: h∈H } 稱為左陪集.左,右陪集的性質很類似．