慣性群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群。

慣性群是群表示論中一類重要的群。可由正規子群特徵標的穩定子群決定的群。設N是一個有限群G的正規子群。

基本介紹

• 中文名：慣性群
• 外文名：inertia group
• 領域：代數
• 定義：由正規子群特徵標的穩定子群
• 目的：群表示論
• 相關術語：伽羅瓦群

慣性群

慣性群是分解群的一個正規子群。它所決定的商群同構於相應的剩餘域的伽羅瓦群。若N是域F的一個正規擴張，C與π分別為N的一個賦值環與對應的位，並且N-，F-分別是賦值環C，C∩F的剩餘域，則N-是F-的正規擴張，且有一個從分解群G(C，F)到伽羅瓦群Aut(N-/F-)的滿同態φ，使得對：

若且唯若：

同態φ的核稱為C關於F的慣性群，記為。慣性群可如下給出：

其中M_C是C的賦值理想。慣性群在N中的固定子域稱為C關於F的慣性域。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

子群

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子群。

伽羅瓦群

伽羅瓦群是伽羅瓦理論的一個重要概念。設K是域F的伽羅瓦擴域，K的F自同構群G(K/F)稱為K/F的伽羅瓦群.當K為F可分閉包時，G(K/F)稱為F的絕對伽羅瓦群。若K是F的一個有限次伽羅瓦擴域，則G(K/F)是一個[K∶F]階群.由於有限次伽羅瓦擴域等同於某一可分多項式的分裂域，因此，若域K是域F上一個可分多項式f(x)的分裂域，則其伽羅瓦群G(K/F)就稱為f(x)的伽羅瓦群，從而有限次伽羅瓦擴域的伽羅瓦群必為某一多項式的伽羅瓦群。在歷史上，是伽羅瓦(Galois，E.)首先對多項式引入伽羅瓦群的概念。

分解群

伽羅瓦群的一個子群。它使得這個正規擴張的某個賦值環穩定不變。若N是域F的一個正規擴張，C是N的一個賦值環。在伽羅瓦群Aut(N/F)中，子集：

組成一個子群。該子群稱為C關於F的分解群。分解群G(C，F)在N中的固定子域稱為C關於F的分解域。

正規子群

亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群，記為HG。子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群，稱為G的平凡正規子群。

正規擴張

正規擴張是一種重要的代數擴張。它與多項式的分裂域密切相關。代數擴張K/F稱為正規擴張，是指F[X]中每個在K中有根的既約多項式，在K[X]中可以分解為一次因子的乘積。它等價於K的任意元α在F上的最小多項式在K[x]中可以分解為一次因子的乘積。一個代數擴張K/F的正規閉包是指F的一個正規擴張，它包含K且它包含的K的任意真子域在F上都不是正規的。值得注意的是，即使E/F，K/E是正規擴張，也不能推出K/F是正規的。例如，對域鏈：

都是正規的，但不是正規的。