單子(範疇論概念)

範疇X的單子是X的自函子範疇的么半群，其乘法為自函子的複合，單位元為單位自函子。

基本介紹

• 中文名：單子
• 外文名：Monad
• 所屬學科：範疇論

定義

範疇X的單子T=<T,η,μ>，包含自函子T:X→X，自然變換η:I_X→T與μ:T→T，滿足結合律：μ∘Tμ=μ∘μT與單位律μ∘ηT=Tη∘μ=I。其中η稱為單位，μ稱為乘法。

性質

X的單子為X的自函子範疇的么半群。

伴隨對

給定伴隨對<F,G,η,ε>:X→A，令T=GF為自函子，伴隨對的單位η:I→T，余單位ε:FG→IA，可得乘法μ=GεF:T→T。故<GF,η,GεF>為伴隨對<F,G,η,ε>定義的單子。