矩陣表示

矩陣表示

在 V 上取一組基,把線性變換 ρ(g) 在此基下的矩陣記作 T(g),則 g→ T(g) 是 G 到一般線性群 GL(n,K) 內的同態,它稱為 G 的矩陣表示。

基本介紹

  • 中文名:矩陣表示
  • 外文名:matrix representation
  • 適用範圍:數理科學
  • 定義:在 V 上取一組基,把線性變換 ρ(g) 在此基下的矩陣記作 T(g),則 g→ T(g) 是 G 到一般線性群 GL(n,K) 內的同態
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簡介

在 V 上取一組基,把線性變換 ρ(g) 在此基下的矩陣記作 T(g),則 g→ T(g) 是 G 到一般線性群 GL(n,K) 內的同態,它稱為 G 的矩陣表示。

等價矩陣表示

兩個矩陣表示
稱為等價的,如果有一可逆矩陣 P ,使得對一切
,等式
成立,所以對同一線性表示 ρ ,在 V 內取不同的基,所得到的矩陣表示是等價的。

表示論

[representation theory]
為了了解一個群的構造,我們常常研究它到某個具體的群內的同態,把這種同態稱為表示(representation)。最常見的具體的群有矩陣群(即矩陣組成的群)和置換群,所以常見的表示就是矩陣表示(matrix representation)和置換表示(permutation represenation)。
在矩陣表示的情況下,人們自然地把矩陣當成線性變換來對待,從而可以使用線性代數的豐富成果以得到深入的結論。於是把矩陣表示一般化為線性表示(linear representation)即群到線性變換群的同態。現在人們所說的表示論實際上是關於群的線性表示的理論。

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