矩陣行列式

矩陣行列式

矩陣行列式是指矩陣的全部元素構成的行列式,設A=(aij)是數域P上的一個n階矩陣,則所有A=(aij)中的元素組成的行列式稱為矩陣A的行列式,記為|A|或det(A)。若A,B是數域P上的兩個n階矩陣,k是P中的任一個數,則|AB|=|A||B|,|kA|=k|A|,|A*|=|A|,其中A*是A的伴隨矩陣;若A是可逆矩陣,則|A|=|A|。

基本介紹

  • 中文名:矩陣行列式
  • 所屬學科數學
  • 所屬問題:高等代數(矩陣)
  • 簡介:矩陣的全部元素構成的行列式
基本介紹,相關定理,

基本介紹

一個n×n的方陣A的行列式記為det(A)或者|A|,一個2×2矩陣的行列式可表示如下:
把一個n階行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去後,留下來的n-1階行列式叫做元素aij的餘子式,記作Mij。記Aij=(-1)Mij,叫做元素aij代數餘子式。例如:
一個n×n矩陣的行列式等於其任意行(或列)的元素與對應的代數餘子式乘積之和,即:

相關定理

定理1 設A為一n×n矩陣,則det(A)=det(A)。
對n採用數學歸納法證明。顯然,因為1×1矩陣是對稱的,該結論對n=1是成立的。假設這個結論對所有k×k矩陣也是成立的,對(k+1)×(k+1)矩陣A,將det(A)按照A的第一行展開,我們有:
det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1),
由於Mij均為k×k矩陣,由歸納假設有
此式右端恰是det(A)按照A的第一列的餘子式展開。因此
定理2 設A為一n×n三角形矩陣。則A的行列式等於A的對角元素的乘積。
根據定理1,只需證明結論對下三角形矩陣成立。利用餘子式展開和對n的歸納法,容易證明這個結論。
定理3 令A為n×n矩陣。
(i) 若A有一行或一列包含的元素全為零,則det(A)=0。
(ii) 若A有兩行或兩列相等,則det(A)=0。
這些結論容易利用餘子式展開加以證明。

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