朗斯基行列式

定義

對於給定的n個n-1次連續可微函式，f₁、...、f_n，它們的朗斯基行列式W(f₁, ..., f_n)為：

行列式的第i行是f₁、...、f_n各函式的i-1次導數。組成這個行列式的n階方陣也稱作這n個函式的基本矩陣。

在解線性微分方程時，朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。

與線性無關解

朗斯基行列式可以用來確定一組函式在給定區間上的線性相關性。

對於n個n-1次連續可微函式f₁、...、f_n，它們的朗斯基行列式W(f₁, ..., f_n):

定理：

如果f1、...、fn 在一個區間[a,b] 上線性相關，則W(f1, ..., fn) 在區間[a, b] 上恆等於零。

也就是說，如果在某些點上W(f₁, ..., f_n)不等於零，則f₁、...、f_n線性無關

注意，若W(f₁, ..., f_n)在區間 [a,b] 上恆等於零，函式組不一定線性相關。

線性微分方程

描述

考慮n階線性微分方程：

其中

是區間 [a,b] 上的連續函式。並考慮f(t)=0，即n階齊次線性微分方程的情形：

對於一組給定的初始值：

方程 (1) 有唯一解

。如果初始值不定的話，(2) 的任一解加上

仍然是 (1) 的解。而對於 (2) ，任意k個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集構成一個線性空間，稱為 (2) 的解空間。

定理的證明

如果f₁、...、f_n在一個區間 [a,b] 上線性相關，則存在不全為零的係數

使得對區間 [a,b] 上的任意t，

因為“微分”是線性運算元，所以這個等式可以“延伸”到n-1階導數。故有以下方程組：

將

看作變數，則上式變為一個n元齊次線性方程組，由於這個方程有非零解，係數矩陣的行列式W(f₁, ..., f_n)= 0。

進一步可以證明，W(f₁, ..., f_n)要么在區間 [a,b] 上恆等於零，要么處處不為零（沒有零根）。於是可以證明 (2) 有n個線性無關的解，並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以， (2) 的解空間是一個n維線性空間。 (2) 一組n個線性無關的解稱作它的一個基本解組。