函式行列式

函式行列式是n元函式對每個自變數求偏導數構成的n維矩陣的行列式，也被稱為雅克比行列式。它是坐標變換理論下的基礎內容之一，不僅在數學分析隱函式理論中發揮著重要的作用，在高等代數行列式研究中也發揮著重要的作用。

基本介紹

• 中文名：函式行列式
• 外文名：functional determinant
• 學科：數學
• 領域範圍：數學分析
• 屬性：隱函式

定義和例子

由到的映射（或變換）就是元函式

由到的映射（或變換）就是個元函式構成的函式組，即

表示為。設它們對每個自變數都存在偏導數，行列式

稱為函式組在點的雅克比行列式，也稱為函式行列式，表示為

極坐標變換

設極坐標為

函式組在點下的函式行列式為

柱面坐標變換

設柱面坐標為

函式組在點下的函式行列式為

球面坐標變換

設球面坐標為

函式組在點下的函式行列式為

函式行列式的性質

已知一元函式與的複合函式的導數是，對二元函式的複合，我們有下面類似的定理。

定理1

若函式組有連續的一階偏導數，而也有連續的一階偏導數，則

對應於一元函式的反函式的求導法則，對二元函式組，我們也有類似的法則。

定理2

若函式組有連續的一階偏導數，又也有連續的一階偏導數，則當時，有