定向(代數拓撲概念)

胞腔復形中一個胞腔的定向為其對應相對同調群的一個生成元。

基本介紹

• 中文名：定向
• 外文名：orientation
• 所屬學科：代數拓撲

胞腔的定向

胞腔復形中胞腔的一個定向為相對奇異同調群的一個生成元。

流形的定向

定義

設V為有限維向量空間，維數為n≥1，則V的一個定向為有序基的等價類。給定了定向的向量空間稱為定向向量空間。

設M為光滑流形，則M的逐點定向為對M的每個切空間選取一個定向。設(E_i)為M的切叢TM的局部標架，若對M上所有點p，(E₁|p,...,E_n|p)為T_pM的定向基，則稱(E_i)為定向標架。若M上所有點均在定向局部標架的定義域內，則稱M的逐點定向為連續逐點定向。

流形M的定向就是其連續逐點定向。

性質

每個李群都是可定向流形。

當n＞1時，n維球面是可定向流形。

實射影空間ℝP為可定向流形，若且唯若n是奇數。

R定向

定義

n維流形M的R定向為開覆蓋{U_i}與M在U_i的R基本同調類z_i，滿足若U_i⋂U_j非空，則z_i與z_j映射到H_n(M,M-U_i⋂U_j)的同一元。

基本介紹

設同調群的係數取值於交換麼環R，H_n(M,M-x)≅R，則H_n(M,M-x)可視為單生成元的自由R模，其生成元為R的單位元，則R定向相當於選取生成元。

向量叢的定向

定義

向量叢E→X為可定向叢，若且唯若其第一斯蒂弗爾-惠特尼類w₁(E)=0。

性質

若w₁(E)=0，則E的定向與H(X;ℤ₂)一一對應。即對X上每個連通分支，E都有兩個可能的定向。