可定向流形

可定向流形

已給R中一流形M(p維,C類),可用開集Vi (空間M中的開集)的覆蓋拓撲空間M;對於每個Vi,存在著一個像是Vi的參變數表示:fi:Ωi→- Vi。fi 的選取使M 在Vi所有點定向,如果對於任何一對(i,j),fi及fj在Vi∩Vj中每點確定M 的同一定向,那么就說這些fi確定M 的一個定向。如果可找到一些局部參變數表示fi確定M的一個定向(如上所述),就說M是可定向的,一個流形M,即令是連通的,並不總是可定向的:“默比烏斯帶”提供了不可定向曲面的一個例子。

基本介紹

  • 中文名:可定向流形
  • 外文名:orientable manifold
  • 所屬學科:數學
  • 所屬領域:幾何拓撲學
  • 釋義:確定流形指向的方式問題
基本介紹,相關性質定理,

基本介紹

拓撲流駝淋付灶形的定向(orientation of topological manifold)是指確定流形指向的方式問題,有多種等價的方式來定義流形的定向,這裡介紹比較基本的兩種,設M為n維拓撲流形,由定義可知存在M的一個開覆蓋
使得對於每個
同胚
(或
),於是當
時,
(或
)的開子集之間的同胚。若在M上可選取
使得當
時,
總是保向同胚,則稱M為可定向流形;否則,稱為不可定向流形。
為單位區間,
為流形M的一條道路,選取
的一個分割
使得
,現在通過
選取
的序向,使得在
上,它們有一致的序向,則當a為環道時,有
的鄰域
的鄰域
的一個同胚h,若h為保向同胚,則稱a為保向的;否則稱a為逆向的,霸慨於是M可定向的等茅灑笑腿價說法是:M上的任意環道都是保向環道。由於具有相同基點的同倫環道有相同的保向性,所以單連通流形必定可定向,因此n維球面S當n≥2時腳芝斷可定向(當然圓周S也可定向)。另一方面,如圖1所示,默比烏斯帶的腰圓是一條逆向曲線,從而默比烏斯帶不可定向,因此一切包含默比烏斯帶的曲面均不可定向,所以2維實射影平面、克萊因瓶等均為不可定向的閉曲面晚盛慨(2維流形)。
可定向流形
圖1

相關性質定理

命題1 在連通的定向流形上存在兩個不同的定向,並且任何圖給出與M的定向中的一個相同的局部定向。
定理1 如果帶邊流形M是可定向的,那么邊界
也是可定向的流形。
定義 設M是帶邊的定向流形,
是給出M定向的圖冊。
的定向由圖冊
給出的
的定向稱為與M的定向是協調的。
引理1
同胚於圓盤與Mf;bius帶沿公共邊界的粘合。
引理2Klein 瓶同胚於粘合了兩個
帶的球面。
定理2(分類定理)任何光滑、緊緻、連通、閉、二維流形或同胚於有k 個柄的球面
,或同胚於有s 個
膜的球面
引理3任何二維、光滑、緊緻、連通、閉的M允許有限的三角剖分
引理4詞W可以(藉助於備捆捉M的同胚)改造成多邊形W的所有頂點粘合到汗迎宙一個點。
引理5
則存在M的同胚,把W變換為詞
引理6 如果
則存在M的同胚,使W轉變為
引理7 如果
則存在M的同胚,把W 變換為
引理8 如果W(在W 上完成了上述的操作) 含有一對字母
的邊:
而且
則存在一對邊
,使
其中
即對任何一對邊和(這裡),存在與它相“銜接”的一對邊
引理9 如果
則存在
的同胚,把W變成

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