定向配邊類

定向配邊類(oriented cobordism class)是流形的一種等價類，對於兩個光滑緊定向n維流形M與M′，若存在一個光滑緊的帶邊的定向流形X，使得∂X及其誘導定向在保持定向的同胚之下同胚於M與(-M′)的無交並，則稱M與M′屬於同一個定向配邊類。定向配邊類的這種關係是自反的、對稱的和傳遞的，因此是一個等價關係，在這種等價關係之下的等價類之集記為Ω_n，對Ω_n中的任意兩個元素{M}，{M′}，用無交並作為群運算，則Ω_n構成一個阿貝爾群，這個群的零元就是空流形的配邊類。例如，可以列出定向配邊類群如下：Ω₀≅Z，Ω₁=0，Ω₂=0，Ω₃=0，Ω₄≅Z，Ω₅=Z/2，Ω₆=0，Ω₇=0，Ω₈≅Z⊕Z，Ω₉=(Z/2)⊕(Z/2)，Ω₁₀≅Z/2，Ω₁₁≅Z/2。

基本介紹

• 中文名：定向配邊類
• 外文名：oriented cobordism class
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：流形上的分析(示性類理論)
• 相關概念：定向流形，配邊理論等

基本介紹

定向配邊理論的研究對象是所有定向流形的集合，其中所有流形都有兩種定向。如果一種用 表示，另一種則用 表示，它們在這個集合中代表不同的元素。

兩個 維閉流形 稱為定向配邊，如果存在一個, 維可定向有邊緣流形X，使得

這樣，所有定向流形在這種等價關係之下形成等價類。定向配邊等價類的集契約樣可引入加法構成阿貝爾群 ，引進乘法構成分次反交換代數 ，稱為定向配邊環。

經過托姆、米爾諾(Milnor，John Willard，1931-) 和沃爾的研究， 的結構也完全決定。

相關理論

托姆基本定理

其中 為旋轉群的托姆譜。

結構定理

是Q上多項式環，

即每維各有一個生成元，這生成元為復射影空間的定向配邊類。

1960年，米爾諾證明沒有p分量，p為任意奇素數。同年，沃爾證明的2分量中不含4階元素。

設為中所有撓元構成的理想，則為上多面‘式環，以為生成元，其中可取為復維非奇異代數簇。

定向配邊不變數

兩個定向閉流形定向配邊若且唯若其所有的施蒂費爾-惠特尼示性數和龐特里亞金示性數對應相等。

的具體結構如下：

時，所有均不等於0。