無定向配邊類(unoriented cobordism class)又稱未定向配邊類,是流形的一種等價類,邊緣流形的理論稱為配邊,兩個緊n維流形屬於一個配邊類,如果它們的不交並是個邊緣, 可以證明這是一種等價關係。兩個光滑閉n維流形M1與M2屬於同一個無定向的配邊類的充分必要條件是它們的不相交的並M1∪M2是光滑緊n+1維流形的邊緣。
基本介紹
- 中文名:無定向配邊類
- 外文名:unoriented cobordism class
- 別稱:未定向配邊類
- 屬性:流形的一種等價類
- 相關概念:配邊,配邊理論等
基本介紹,無定向配邊理論,相關概念,定向配邊類,配邊理論,拓撲流形的定向,
基本介紹
未定向配邊類是流形的一種等價類,兩個光滑閉n維流形M1與M2屬於同一個無定向的配邊類的充分必要條件是它們的不相交的並M1∪M2是光滑緊n+1維流形的邊緣。
無定向配邊理論
托姆在所有不考慮定向的流形中,引入一個等價關係,其相互配邊的流形(同一維)構成一個等價類。n維閉流形等價類全體在加法之下構成阿貝爾群
,其中加法為
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相關概念
定向配邊類
定向配邊類(oriented cobordism class)是流形的一種等價類,對於兩個光滑緊定向n維流形M與M′,若存在一個光滑緊的帶邊的定向流形X,使得∂X及其誘導定向在保持定向的同胚之下同胚於M與(-M′)的無交並,則稱M與M′屬於同一個定向配邊類。
定向配邊類的這種關係是自反的、對稱的和傳遞的,因此是一個等價關係,在這種等價關係之下的等價類之集記為Ωn,對Ωn中的任意兩個元素{M},{M′},用無交並作為群運算,則Ωn構成一個阿貝爾群,這個群的零元就是空流形的配邊類。例如,可以列出定向配邊類群如下:Ω0≅Z,Ω1=0,Ω2=0,Ω3=0,Ω4≅Z,Ω5=Z/2,Ω6=0,Ω7=0,Ω8≅Z⊕Z,Ω9=(Z/2)⊕(Z/2),Ω10≅Z/2,Ω11≅Z/2。
配邊理論
兩個緊緻的無邊的n維C流形M0和M1,稱為是模2配邊的,如果存在緊緻帶邊的n+1維C流形W,使∂WC微分同胚於M0×{0} ∪M1×{1},記作M0~M1。模2配邊是n維緊緻無邊流形之間的一個等價關係。n維C流形M所在的等價類記作[M]2,等價類的全體作成的集合記作ℛ,稱為n維不定向的配邊群。
類似地,M0和M1是定向的n維無邊C流形,它們的定向分別為ω0和ω1,稱(M0,ω0)和(M1,ω1)是配邊的,如果存在n+1維帶邊C流形(W,θ)及保持定向的C微分同胚f:(∂W,∂θ)→(M0×{0},-ω0)∪ (M1×{1},ω1)。n維定向無邊定向C流形的等價類的全體做成的集合記作Ω。
把W嵌入到某歐氏空間Rq,可定義[M0]2+ [M1]2等於[M0+M1]2,不難證明ℛ對加法做成一個交換群稱為n維配邊群。對加法和乘法做成一個有單位元的交換環,稱為n維配邊環。且更有甚者,做成一個模2的交換代數,稱為托姆(Thom)代數。
類似地在Ω中定義加法和乘法,則Ω對加法做成交換群,稱為n維定向配邊群,對加法和乘法做成有單位元的環,稱為n維定向配邊環。
拓撲流形的定向
拓撲流形的定向(orientation of topological manifold)是確定流形指向的方式問題,有多種等價的方式來定義流形的定向,這裡介紹比較基本的兩種。設M為n維拓撲流形,由定義可知存在M的一個開覆蓋{Uλ|λ∈Λ},使得對於每個Uλ有同胚φλ:Uλ≌R(或
),於是當Uλ∩Uμ≠∅時,
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設
為單位區間,
為流形M的一條道路,選取
的一個分割
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![](/img/1/748/wZ2NnL4cTOxEmNjdTOjJ2MyATYzEmZwQWMyMGNmRTM4kDN0YzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/4/ea2/wZ2NnLyMDZmdjZ1EjM2MTM5QTOhZWYlBjNmNGMyUGM4YWM2QzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
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![圖1 圖1](/img/7/5d7/gM3gjYhVGOjVjYiVjYzgDM0cTN2IjZlRWYyQDZkJTNykTNwYTYyYDZvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)