複雜非線性橢圓問題研究

《複雜非線性橢圓問題研究》是依託蘭州大學，由趙培浩擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：複雜非線性橢圓問題研究
• 依託單位：蘭州大學
• 項目負責人：趙培浩
• 項目類別：面上項目

項目摘要

隨著科學與技術的發展，湧現出一大批覆雜非線性問題。複雜非線性橢圓問題是非線性問題的基本問題，也是目前橢圓問題研究的核心，集中體現了非線性問題的難點。本項目擬藉助於非線性泛函分析的臨界點理論等變分方法以及拓撲度理論、Morse理論等拓撲方法，結合橢圓方程的各種先驗估計和調和分析的若干技巧，去研究複雜非線性橢圓問題的可解性、多解性以及解的分析與幾何等基本性質。複雜非線性橢圓問題是指具有邊界非線性、非局部性、奇異非線性以及非光滑區域上的橢圓問題，橢圓問題主要指p-拉普拉斯問題、變指數橢圓問題以及完全非線性橢圓問題。主要研究在邊界上滿足某種非線性條件的橢圓問題的變分解以及非變分解,研究非局部橢圓問題以及奇異橢圓問題的可解性與多解性以及解的性質，進一步釐清複雜非線性對橢圓問題的本質影響，為幾何、物理等相關問題提供新的思路和方法。

結題摘要

本項目主要使用非線性泛函分析的理論和方法,結合調和分析技巧,研究了具有複雜非線性的橢圓問題的可解性、多解性以及解的性質等問題，其中，解的性質包括正性、奇異性（大解）以及橢圓均勻化理論等，給出了複雜非線性對問題的影響方式，獲得了一系列具有深刻意義的結論。具體來說，在具有非線性邊界條件的橢圓問題研究方面，發表論文3篇，分別給出了非線性邊界條件對正解以及無窮多解的存在性的影響；在非局部問題方面，發表論文1篇，證明了帶有對流項及小擾動的非局部問題正解的存在性；在與薛丁格運算元相關的橢圓問題方面，發表論文2篇分別討論了擬線性薛丁格方程孤子解和多解的存在性；在Musielak-Orlic-Sobolev空間及解的正則性研究方面，發表論文4篇，給出了在該類空間中的跡運算元的正則性、解的存在性和正則性等結果，有重要的理論意義；在大解及多解的研究方面，發表論文3篇，討論了半線性和擬線性橢圓問題大解的存在性；而在橢圓均勻化研究方面，發表論文6篇，對帶低階項橢圓方程組的均勻化問題做了系統而全面的研究，開展了對Stokes系統均勻化理論和拋物系統均勻化問題的研究，特別是對於Dirichlet非光滑邊值問題，我們得到了幾乎最佳收斂速率的估計，以及W1,p估計、速度場及壓力項的整體最佳一致估計。總計發表論文20篇。