《含臨界指標的非線性橢圓問題的臨界維現象》是依託華中師範大學，由鄧引斌擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：含臨界指標的非線性橢圓問題的臨界維現象
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：鄧引斌
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
含臨界指標的非線性橢圓問題有它深刻的物理背景和幾何背景。由於問題中非線性項含臨界指標使問題的研究變得相當複雜。空間的維數、區域的拓撲結構、齊次或非齊次擾動都會導出很多非常有趣的存在性與非存在性結果。本項目的主要目的是探討空間的維數對幾類非線性橢圓問題解的存在性與非存在性以及多解性的影響。其研究結果將覆蓋擬線性Schodinger方程、雙調和方程、多重調和方程、p-雙調和方程以及含臨界Hardy項的各類方程。由於方程中出現臨界指標或臨界Hardy項從而導致對應的變分泛函失去緊性，標準的變分方法不能直接應有，因此很多奇怪的現象由此產生，需要人們進一步發展泛函工具和分析技巧來探討這些奇怪的現象。因此，本項目的研究涉及到非線性分析、幾何拓撲等數學理論分支，同時也涉及到理論物理、反應擴散等重要的套用領域。
結題摘要
對一類廣義擬線性Schrodinger方程，我們發現了它所對應的臨界指標，並對這類帶臨界指標的擬線性橢圓問題，我們得到了其駐波解的存在性；對帶非局部項的Kirchhoff-type問題和Schrodinger-Poission 方程，我們定義了其變號基態解，並在一定條件下證明了其變號基態解的存在性，同時，我們還研究了當問題中的非局部項消失時，對應的變號基態解的漸近行為；對源於微分幾何的數曲率方程，我們證明了其峰值解的局部唯一性，這結果的一個直接推論是：如果曲率函式K(y)關於某一個變數是周期的，則對應的數曲率方程存在無窮多個關於該變數是周期的解；對非齊次Bose–Einstein Condensation (BEC) 問題和Hartree問題，我們得到了其對應的能量泛函在某種意義下約束極小的存在性與非存在性；對帶零位勢或Hardy位勢的橢圓問題，對含臨界增長的橢圓方程組我們得到了一些有趣的存在性與非存在性結果。
