《若干非線性橢圓和拋物方程的奇異性研究》是依託華東師範大學，由周風擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：若干非線性橢圓和拋物方程的奇異性研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：周風
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究薄膜問題、液滴的擴散、MEMS、空間生態學模型中的一些重要的非線性橢圓型偏微分方程和相應的拋物方程。研究內容包括含有奇異項的方程、超臨界指數方程、含有奇異邊值的定解問題、反應－對流－擴散方程。對這些方程解的結構、奇性及漸近行為進行深入的討論。重點研究這些方程（組）解的奇異性和凝聚現象，解的幾何性質，研究區域的幾何與拓撲性質對解的奇點集、零點集、凝聚集的影響。利用奇攝動變分理論和Blow up分析等研究、處理這些問題，有利於發現一些數學問題之間的聯繫和共性，有利於研究工作形成系統，同時能豐富非線性偏微分方程（組）的理論，發展新的方法，解決新的問題，並且對流體力學、材料科學、生態學中的一些的非線性現象提供深刻的了解。
結題摘要
本項目主要研究了一些非線性橢圓偏微分方程（組）與變分問題解的各種奇異形態和凝聚現象，特別是研究源於流體力學中的薄膜問題和微電子彈性薄片形變理論、空間生態學模型中的非線性偏微分方程(組), 側重研究二階的此類方程以及相關聯的一類非線性偏微分方程解的結構及其奇異性分析。其中包括:以Thin films和MEMS 為背景的一類具有奇異非線性項的半線性橢圓、拋物及含有雙調和運算元的方程的研究：特別是奇異極端值的估計和相應的拋物方程解的quenching time和quenching 集合的大小估計。 本項目的研究基本上是根據國內外研究新發展及計畫書的內容進行。未做大的調整與變動。但在對液滴在固體上的擴散數學理論和資源的空間分布如何影響物種的生存等計畫書中所提及的研究還不夠。 研究主要成果包括： 1．研究了一般的MEMS型方程，獲得奇異極端值的估計和相應的拋物方程解的quenching 時間和解在quenching 集合附近的漸近性態。這些結果不但將先前的已知結論推廣到一般情形，而且證明也大為簡化[1]。另外我們也得到了帶對流項的非特徵值問題極端解在低維情形下的正則性結果[6]。 2.對含有負指標非線性項的半線性橢圓方程，研究了帶有權函式的Dirichlet邊值問題的解的結構和性質：證明存在一個臨界值，可以用來判斷解的分枝是否具有無窮多個旋轉點以及研究解的 Morse 指數[4]。 3. 對 $SU(3)$ Toda 方程組解的非退化性，即解所對應的線性化運算元的核空間是一個8維空間。Toda方程組在物理和幾何中的一些問題中有許多套用，例如Chern-Simons 理論。這個結果是了解該方程組解的結構的一個基本結果，特別用於研究方程組解的集中現象，解的構造[2]。 4．對含臨界指數的多重調和方程獲得了解的存在性結果，這些結果涉及到臨界維數問題，另外也得到了類似於Coron著名的非平凡拓撲區域上解的存在性結果[3]。
