具非局部項和非線性奇異項的橢圓和拋物偏微分方程

《具非局部項和非線性奇異項的橢圓和拋物偏微分方程》是依託華東師範大學，由周風擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：具非局部項和非線性奇異項的橢圓和拋物偏微分方程
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：周風
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

本項目研究物理和流體力學中的MEMS方程和薄膜問題，它們是一些重要的非線性橢圓型偏微分方程和相應的拋物方程。研究內容包括含有非局部項和奇異項的方程、超臨界指數方程、含有奇異邊值的定解問題。對這些方程解的結構、奇性及漸近行為進行深入的討論。重點研究這些方程（組）解的奇異性和凝聚現象，解的幾何性質，研究區域的幾何與拓撲性質對解的奇點集、零點集、凝聚集的影響。了解非局部效應的影響。利用奇攝動變分理論和Blow up分析等研究、處理這些問題，有利於發現一些數學問題之間的聯繫和共性，有利於研究工作形成系統，同時能豐富非線性偏微分方程的理論，發展新的方法，解決新的問題。通過這些研究，可以從更多角度理解物理或自然現象的本質。

結題摘要

本項目研究薄膜問題、液滴的擴散、MEMS、空間生態學模型中的一些重要的非線性橢圓型偏微分方程和相應的拋物方程。研究內容包括含有奇異項的方程、超臨界指數方程、含有奇異邊值的定解問題。對這些方程解的結構、奇性及漸近行為進行深入的討論。特別是對以MEMS 為背景的一類具有奇異非線性項的半線性橢圓及含有雙調和運算元的方程的研究：奇異解的存在性和奇點集合的大小與性質。全空間上穩定解及有限Morse指標解的不存在性,相應的帶有參數的Dirichlet、Neumann問題的解的結構和性質。四階橢圓問題在超臨界情況下方程解的對稱性，具有非局部項的偏微分方程中孤立奇點的產生和分類，以及所起的作用等機制，特別是具有非局部非線性項的Choquard方程中孤立奇點的分類等問題上有突破。更多地了解了這些方程（組）解的奇異性和凝聚現象，解的幾何性質，研究區域的幾何與拓撲性質對解的奇點集、零點集、凝聚集的影響。同時也豐富非線性偏微分方程（組）的理論，為奇攝動變分理論和Blow up分析等理論提供了解決問題的更多的方法和技巧，並且對流體力學、材料科學中的一些的非線性現象提供深刻的了解。