幾類非線性偏微分方程組的行波解與平衡解的定性研究

《幾類非線性偏微分方程組的行波解與平衡解的定性研究》是依託首都師範大學，由吳雅萍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：幾類非線性偏微分方程組的行波解與平衡解的定性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：吳雅萍
• 依託單位：首都師範大學

項目摘要

該項目主要研究幾大類偏微分方程組的行波解、平衡解的存在性、穩定性及解的漸近性，其中包括研究幾類帶擬線性交錯擴散項的SKT生物競爭模型與趨化性生物模型的非平凡平衡解與具奇異結構的行波解的存在性、穩定性及整體解存在性和漸近性；幾類自催化反應方程組與燃燒模型的平面波解與高維柱面波解的存在性、穩定性及廣義行波解的存在性；研究帶空間非均勻性或非局部項的生物模型的行波解與平衡解的存在性、穩定性及一些拋物雙曲耦合方程組的大強度衝擊波解的漸近穩定性；還將對相關特徵值問題進行深入的數值模擬和數值分析。所研究的幾大類問題不僅具有很強的套用背景、對應奇特的自然現象，而且是近年來偏微分方程及套用數學研究領域的國際前沿和熱門的研究課題。該項目力圖在多種類型的耦合方程組的行波解、平衡解的存在性、穩定性及細緻譜分析方面改進現有研究方法和研究理論，取得一系列具很高理論創新性的研究成果,同時揭示和解釋一些重要自然現象。

結題摘要

該項目主要研究了幾類擬線性交錯擴散方程組、拋物雙曲耦合方程組和一些重要反應擴散方程組的行波解、平衡解的存在性、穩定性和解的漸近性。在該項目中通過把奇異攝動法、非經典分叉方法、譜分析法、Evans 函式法、上下解方法、Lyapunov-Schmitz分解法等研究方法和數值模擬巧妙結合，進而改進相關抽象理論和研究架構及數值模擬方法, 我們得到了一系列重要的和全新的理論研究結果和數值模擬結果。該項目得到的主要研究結果包括：對幾類SKT型交錯擴散方程組得到了幾類尖峰平衡解的穩定性/不穩定性和具特殊分叉結構和爆破結構的平衡解的存在性和穩定性；對退化Fisher方程得到了具空間指數與非指數衰減的高維柱形域波的唯一性、精細的空間衰減估計和波的穩定性及具一般初值的解的漸近性；對一類重要的帶奇性的Keller-Segel趨化模型證明了脈衝波解的譜穩定性和解的適定性；對幾類交錯擴散方程組得到非平凡正平衡解和行波解的存在性與穩定性；對一類強衰減的自催化化學反應模型得到了非臨界波速波的精細的非指數空間衰減估計和線性穩定性；一類傳染病模型的波的穩定性和更一般初值的解的漸近傳播速度；幾類拋物雙曲耦合方程組的波前解的漸近穩定性；帶非局部項的Fisher 方程的二維柱形域波的局部穩定性和解的漸近性。所研究的問題均具有強烈的套用背景和對應重要的自然現象，有些問題也是近年來偏微分方程和套用數學相關研究領域的前沿研究課題。在本項目中我們改進了有關行波解和平衡解的存在性、穩定性及細緻譜分析研究的一些相關研究理論和研究方法，在研究技巧上也有本質創新，我們的大部分定性和數值模擬結果也具有的一定套用價值和解釋了一些重要的自然現象。該項目已完成學術論文20餘篇，主要結果發表在國內外重要刊物上，其中在SCI 刊物上發表論文13篇，國核心心刊物上4篇。