反應擴散的數學理論及橢圓與拋物型偏微分方程組

《反應擴散的數學理論及橢圓與拋物型偏微分方程組》是依託華東師範大學，由倪維明擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：反應擴散的數學理論及橢圓與拋物型偏微分方程組
• 項目類別：重點項目
• 項目負責人：倪維明
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

本項目將對反應擴散的機製作徹底而系統的研究。在自治系統方面，了解導致方程中的各種self-organizing（如：凝聚）現象的機制；並研究強耦合方程組，例如生態學中的交叉擴散方程組。在非自治系統方面，了解擴散在非齊一空間上對競爭系統(Lotka-Volterra)的衝擊, 進而了解“空間非齊一性”在植物生態學中“共存現象”上扮演的角色。並研究“定向移動”(強耦合方程)與非齊一空間的互動作用, 從而選擇“定向移動”之最佳策略. 近年來，非局部效應扮演了越來越重要的角色，而它與反應擴散又有著極其自然的關聯，亦為本項目之研究重點之一。對於含有奇異項的方程，重點研究解的性質以及區域的幾何與拓撲性質對解的奇點集、零點集、凝聚集的影響。本項目還研究向量場的變分問題及相關的非線性橢圓型方程組，重點研究變分問題的奇異極限、各向異性現象、邊界層現象，發展數學方法，並用於分析物理學中的一些數學問題.

結題摘要

我們研究在單一種群中，擴散與資源分布對總人口的影響。我們發展出了一系列的生物實驗來驗證數學的結果，修正了數學模型，再解決這些模型，並得到數學結果，佐證了生物的實驗，也確立了這些生態中的基本事實及其數學模型。特別是我們給出了生態學中的一個基本“人口-資源互動”的模型，並從數學上獲得了這個新的數學模型的解的各種性質。研究了兩個競爭種群的動力學性質。在內在增長率與承載能力是線性相關的假設之下，在數學上完整的刻畫了所有解的全部動力學性質。 對帶有非局部項的各類模型開展解的定性分析的研究。特別地研究了帶有非局部擴散的競爭系統，在解軌道缺乏緊性的情況下，給出了動態解長時間漸近行為的完整刻畫。對三類帶有非局部項的特徵值問題給出了主特徵值的多種刻畫方式，並進行了完整細緻點譜分析。對具有非局部非線性項的Choquard方程和帶Hardy項的橢圓方程解的孤立奇點的產生和分類進行了全面的研究。對於含有奇異項的方程、包括高階橢圓方程，研究了解的幾何性質以及區域的幾何和拓撲性質對解的奇點集、零點集凝聚集的影響。建立了帶奇異權函式的Sobolev空間上的嵌入定理及退化橢圓方程非負解的存在性、正則性、解的穩定性、分類，預定奇點集的弱解的存在性。發展了有限維的Lyapunov-Schmidt約化方法並套用於二維帶磁場的薛丁格方程的凝聚在穩定的、非退化的曲線上的解存在性。本項目還研究向量場的變分問題及相關的非線性橢圓型偏微分方程組，重點研究變分問題的奇異極限、各向異性現象、邊界層現象。在合理的參數範圍內證明了液晶表面層狀相的存在性。研究了Aharonov–Bohm 磁位勢對超導相變的影響。對Meissner態給出了完整的數學理論，得到了解的正則性及其它性質的細緻刻畫。對邊界層的形成，其位置以及序參數在邊界層中的凝聚性態，解的能量的漸近極限以及邊界能量的漸近估計給出了精細的刻畫與估計。系統研究了含有旋度運算元的方程的一種約化方法，並套用於非線性Maxwell方程組解的Schauder正則性，非線性Maxwell-Stokes方程或熱電模型在最廣泛的條件下或各種邊值條件下的可解性、正則性或唯一性。以上成果發展數學方法，並用於分析生態、生物學、物理學、材料科學以及幾何學中的一些數學問題。