幾類具有非局部擴散的發展方程的數學理論

《幾類具有非局部擴散的發展方程的數學理論》是依託電子科技大學,由向昭銀擔任醒目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：幾類具有非局部擴散的發展方程的數學理論
• 依託單位：電子科技大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：向昭銀

項目摘要

具有非局部擴散的發展方程的嚴格數學理論是本世紀才引起偏微分方程專家注意的課題。當前，包括 L Caffarelli、L Silvestre 和 J L Vazquez 等數學家都十分關注這類方程的研究，相比而言，國內似乎很少有數學家專注於這類問題。..本項目主要研究幾類具有非局部擴散的重要發展方程的數學理論，重點研究Riesz型非局部擴散方程、多孔介質型非局部擴散方程、Landau型非局部擴散方程的Cauchy問題解的整體存在性、正則性、大時間漸近行為、自由邊界的正則性以及動力學極限等；我們也將考慮多孔介質型非局部擴散方程的齊次Dirichlet 邊值問題。..非線性和非局部的同時出現給這類問題的研究帶來了極大的困難。我們將充分利用拋物與橢圓型偏微分方程的現代理論和調和分析技巧，特別是De Giorgi類型的疊代、奇異積分估計等，研究非局部擴散與經典擴散的異同，揭示擴散的長程相互作用。

結題摘要

本項目主要利用拋物與橢圓型偏微分方程的現代理論和調和分析技巧研究了具有非局部擴散的偏微分方程的適定性理論、大時間行為等，特別是研究了如下六個方面的內容：i、具有信號吸引與信號產生的趨化-流體耦合方程組的整體適定性、一致有界性、小對流極限、快信號擴散極限等；ii、 對數靈敏係數方程組、吸引-排斥方程組的整體存在性與一致有界性等；iii、不具有磁擴散的不可壓縮 MHD 方程、可壓縮 Hall-MHD 方程等的整體適定性與自由邊值問題的局部適定性等；iv、有界域上具有弱非齊次初值的 Boltzmann 方程的整體適定性、Boltzmann 方程到帶熱傳導的不可壓縮流體力學方程組的逼近、具有弱角奇異性的非截斷 Vlasov-Maxwell-Boltzmann 方程組的整體適定性、相對論 Vlasov-Maxwell-Fokker-Planck 方程組的整體適定等；v、2×2弱耦合 Schrödinger 方程組的係數識別問題等；vi、修正的 b-family 方程解的爆破和解的持久性等。項目組全體成員在項目執行期潛心研究，圓滿完成了預定的研究目標，特別是基於這些研究成果已在 Math Z、Cal Var、Math Mod Meth Appl Sci、Ann Sc Norm Super Pisa、J Differ Eq、Nonlinearity、Sci China Math、J Functional Anal、Inverse Problem 等高水平數學期刊上發表學術論文 20 余篇，得到了國內外同行的高度評價，已被 SCI 引用 200 余次。