空間非局部生物模型的反應擴散波

《空間非局部生物模型的反應擴散波》是依託蘭州大學,由王智誠擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

  • 中文名:空間非局部生物模型的反應擴散波
  • 依託單位:蘭州大學
  • 項目負責人:王智誠
  • 項目類別:面上項目
項目摘要,結題摘要,

項目摘要

自1937年以來,反應擴散方程的行波解理論被廣泛用來描述和解釋物理、化學、生物等學科中的不同問題,是現代數學研究的重要領域。本項目將致力於近年來在生物入侵和傳染病空間傳播等方面具有重要套用的受空間非局部作用和時間時滯影響的反應擴散模型的行波解問題,主要內容有:研究高維空間中受空間非局部和時滯影響的純量反應擴散方程的非平面波,包括存在性、唯一性和穩定性,建立非平面波存在的一般結果並發展相關方法;進一步研究非平面波之間的相互作用及相關的整體解問題;研究高維空間中受空間非局部和時滯影響的單調反應擴散系統(方程組)的非平面波及相關性質;研究具有空間非局部作用和時滯的高維傳染病模型的行波解,發展關於其存在性的方法和一般框架,建立行波解存在的閾值理論。討論空間非局部作用和時滯對行波解存在性及其性質的影響,探討在生物入侵和傳染病空間傳播中的套用。

結題摘要

自1937年以來,反應擴散方程的行波解理論被廣泛用來描述和解釋物理、化學、生物等學科中的不同問題。隨著研究的深入,發現空間非局部和時滯等因素對種群入侵、傳染病空間傳播等的空間動力學行為有本質影響。與此同時,在燃燒理論、化學反應等學科的實驗觀察和數值計算中已經發現了具有多種不同形狀水平集的非平面行波解。所以通過數學研究來尋找和刻畫可能存在的非平面行波解,分析空間非局部和時滯對波的傳播的影響,就成為非常重要的問題。本項目針對這些問題展開了研究,項目進展順利,目前已完成主要內容,達到預期目標。主要內容和成果包括:(1)建立了反應擴散系統在二維空間中的V形行波解和高維空間中的稜錐形行波解的存在性、唯一性及穩定性。通過發展新的方法,對常係數的兩種群L-V型強競爭系統建立了軸對稱行波解。利用動力系統方法和漸近傳播理論,對時間周期係數的兩種群Lotka-Volterra型強競爭系統建立了周期行波解的存在唯一性和漸近穩定性。(2)建立了時間周期反應擴散方程在時間周期V形波和時間周期稜錐形波的存在唯一性及穩定性。特別地,證明了Allen- Cahn方程的二維V形波前解在空間衰減初值擾動下的高維漸近穩定性。 而對於一般的初值,構造了在兩個二維V形波前解之間振動的解,說明對於一般的初值,二維V形波前解在高維空間中不總是漸近穩定的。(3)通過提供一般的方法框架,對幾類具有或不具有空間非局部作用和時間時滯的傳染病模型證明了非平凡行波解的存在性和不存在性,建立了相應的閾值條件。研究了具有退化單穩非線性項的非局部擴散方程的行波解的定性性質,發現具有最小波速的行波解是以確切的指數行為衰減的,而其它的行波解並不以指數形式衰減。最後,證明了最小波速恰好就是具有緊支集初值解的漸近傳播速度。(4)研究了一類具有非局部擴散運算元的雙穩方程和一類具有非局部效應的時滯格微分方程的行波解之間的交錯作用並建立了相應的整體解,發現對空間離散的格微分方程的整體解而言,不具有如同連續空間方程整體解的平移不變性。建立了具有空間周期單穩型非線性項的反應對流擴散方程的由脈動型行波解(本身是高維非平面波)相向傳播產生的脈動型整體解。

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