《高維空間中反應擴散方程的非平面行波解》是依託蘭州大學，由王智誠擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：高維空間中反應擴散方程的非平面行波解
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：王智誠
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在燃燒理論、化學反應等學科的實驗觀察和數值計算中已經發現了具有多種不同形狀水平集的非平面行波解， 所以通過數學研究來尋找和刻畫可能存在的非平面行波解就成為非常具有現實意義的問題。另一方面，時間和空間非齊次問題也成為行波解研究要考慮的重要因素，特別是時間和空間周期的反應擴散方程。本項目將綜合運用現代數學理論研究高維空間中空間齊次反應擴散方程(系統)以及空間周期反應擴散方程的非平面行波解，包括存在性、唯一性、穩定性和定性性質，以及其水平集的形狀和性質。通過發展新的方法和技巧，建立非平面波的一般理論，揭示高維空間中波的複雜傳播方式和方程的複雜動力學行為，促進反應擴散方程行波解理論的發展。另外，由於時滯的因素在種群入侵、傳染病空間傳播等領域是不可避免的，所以本項目也將研究受時滯影響的空間周期反應擴散方程的脈動行波解的存在性、唯一性和穩定性，討論時滯和空間周期等對行波解性質、最小波速等的影響。
結題摘要
本項目針對高維空間中反應擴散方程的非平面波、傳染病擴散模型的閾值動力學和空間傳播、非局部擴散發展方程的穩態解、非局部時滯反應擴散方程的行波解等問題展開了研究，項目進展順利，達到預期目標。主要內容和成果包括：（1）建立了非平面波的存在唯一性和穩定性，包括具有點火型和非KPP單穩型反應擴散方程的V形波和稜錐波、時間周期L-V系統的V形波和雙穩定反應擴散系統的稜錐波。通過發展新的方法，對雙穩型時間周期反應擴散方程和強競爭的L-V系統建立了柱狀對稱波的存在性、不存在性和其他性質。在高維空間中建立了時空周期單穩型反應對流擴散方程的稜錐波的存在性、不存在性、單調性及其最小波速對於係數的依賴性。（2）建立了受季節更替、空間擴散、疾病潛伏期、感染期、年齡階段結構等影響的時滯周期（概周期）傳染病模型，定義了基本再生數，建立了基本再生數與模型線性化運算元主特徵值之間的關係，進而獲得了傳染病持久與滅絕的閾值動力學。通過發展新的方法，建立了幾類傳染病模型的行波解的存在性和不存在性，討論了各類參數對最小波速的影響。（3）分別對一類空間退化的非局部擴散方程和一類時間周期非局部擴散方程在零點處的線性化運算元建立了主特徵值，討論了其關於參數的依賴性，進而建立了該方程正穩態解和正周期解的存在性和穩定性。藉助於零點處線性化運算元的主特徵值，對一類周期發展區域上的Logistic方程建立了種群持久和滅絕的充分條件， 進而分析了區域變化對物種持久生存的影響。（4）藉助於度理論以及不動點理論，對兩類非擬單調的非局部時滯反應擴散方程建立了行波解的存在性和不存在性，該行波解連線零平衡點到一個未知正穩態。對特殊的核函式，通過數值模擬發現隨著非局部作用的增強，該未知的正穩態可能是一個周期穩態。進一步，通過穩定性分析解釋了為什麼會出現周期穩態以及什麼時候會出現周期穩態。對時間周期的非單調時滯單種群模型建立了漸近傳播速度、行波解的存在性和不存在性。
