《具有不規則擴散的可壓縮流體力學方程中的數學問題》是依託北京師範大學，由許孝精擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：具有不規則擴散的可壓縮流體力學方程中的數學問題
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：許孝精
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目致力於研究含有分數階擴散（又稱不規則擴散）的可壓縮流體力學方程以及它所對應的無粘性方程。分數階擴散與通常的擴散相比更有意義，它來自隨機過程中旋轉不變的Markov過程,並可用非局部的擬微分運算元來刻畫它，這使得此類問題的研究變得更加困難。主要將討論這兩類問題的適定性，包括局部光滑解的Blow-up機制，全局弱解的正則性、全局解的存在唯一性與長時間性態以及無粘性極限等問題, 著重探討分數階Laplace運算元的階數對問題適定性的影響，並通過對該運算元的討論去探尋相應的無粘性方程解的性質並比較它們之間的差異和聯繫。主要利用頻率局部化技術，如Littlewood-Paley分解(Bony仿積分解)和擬微分運算元理論，並結合能量方法、緊緻性方法、運算元半群以及函式空間理論等來研究此類問題。期望本項目的研究能給相應的具有分數階擴散方程、無粘性方程以及其他的流體動力學方程和運算元理論的研究提供幫助和參考。
結題摘要
本項目為了研究具有不規則耗散項的可壓縮流體動力學問題適定性，討論了大量的相應的不可壓縮流體動力學方程的適定性問題。主要研究了分數階Boussinesq方程，各項異性的Boussinesq方程以及擴散項依賴溫度的Boussinesq方程的整體適定性， 2維情形的MHD方程的整體適定性，2維分數階Burgers方程的長時間行為，粘性項同時依賴溫度和剪下力的可壓縮Navier-Stokes方程的整體適定性等。目前對於不可壓分數階Boussinesq方程的耗散指標做到最大範圍，這對進一步討論無粘的Boussinesq方程有著很重要的意義，並得到了一些重要的不等式以及有意思的理論結果。用求解色散方程的方法和框架給出了僅速度方程帶有damping項的MHD方程小解的整體適定性，並給出了衰減估計，這一方法和框架對類似的一類問題都是適用的。
