《流體力學及相關問題的數學理論》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由張平擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：流體力學及相關問題的數學理論
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：張平
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
關於不可壓縮Navier-Stokes方程，可壓縮章埋提端Navier-Stokes方程，Euler方程及其相關方程組整體解的存在性和不存在性，光滑解的爆破機制以及解的奇性機構等一直是流體少愚婚力學數學理論和非線性偏微分方程的核心課題。其中關於三維不可壓縮Navier-Stokes方程組整體光臘備凶滑解的存在性或初值是具有限能量的光滑函式，局部光滑解是否在有限時間內爆破是Clay研究所公布的七大千禧年問題之一。這個問題的研究境茅不僅具有深刻的數學意義，同時也具有強烈的套用背景。另外，非線性守恆律方程(組)，可壓縮Navier-Stokes方程等也在偏微分方程理論中起著基本的作設體乎用,該類方程的最重要的特徵之一就是波的傳播速度依賴于波本身, 從而導致了巨大的複雜性以及產生了多種奇性結構的解,如: 激波, 疏散波,孤立子及邊界層等，對這些現象的深入研究不但與力學和航空等許多領域有密切的聯繫,而且對現在的數學理論也是挑戰。
結題摘要
我們首先引入一類全新的Besov-Sobolev型的函式空間，並證明了3維各向異性Navier-Stokes方程在此空間取小初值時的整體適定性，特別地，該結果證明了3維各向異性Navier-Stokes方程具有高頻震頸棗宙承盪初值的整體適定性；進一步通過引入加權Chemin-Lerner型的空間，我們證明了只要初始速度的兩個分量充分小，3維各向異性的Navier-Stokes方程存在整體唯一解；此結果還被我們進一步推廣於3維非齊次不可壓縮Navier-Stokes，我們證明了只要初始密度充分靠近某一正常數且初始速度的兩個分量充分小，三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes方程在臨界空間中存在唯一解。最近我們利用斷駝榜熱運算元的極大正則性定理，將此結果推廣至最佳情形。.對於可壓縮流體的錐體激波,我們證明了超音速激波的整體存在性及穩定性，同時證明了跨音速激波的非穩定性，從而基本回答了空氣動力學數學理論中的一個公開問題（見Courant 和Friedrichs的著作<>中（pages 317-318）的具體描述）. 對於來自流體力學中的非線性波動方程，退化雙曲方程或可壓縮Euler方程組，我們還系統研究了整體解和爆破問題，取得了系列深入的工作。
